Question

Помогите решить задачу Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу. - Кто испачкал скатерть? - спросила бабушка. - Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша. - Это сделал Боря. - А Алеша не пачкал скатерть. - Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будeте, - рассердилась бабушка. - Ну, а каков твой ответ? - спросила она Витю. - Не сеpдись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог этого сделать. А я сегодня не готовил уроки, - сказал Витя. Оказалось, что двое мальчиков в каждом из своих заявлений сказал правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?

Answer 1

     1. Сначала решим ее так называемым здравым рассуждением, без привлечения каких-либо спецальных математических теорий.        В задаче сказано, что двое мальчиков сказали правду (в каждом из двух заявлений), а один сказал неправду (оба раза).         Если сказанное Витей: "Я сегодня не готовил уроки" - неправда, тогда правдиво и первое высказывание Вити:"Боря не мог это сделать". Из этого следует, что Алеша сказал неправду. А он произнес суждение: "Витя не ставил кляксу". Следовательно, кляксу поставил Витя.        Но такое простое решение получилось по тому, что мы вначале решения попали, как говорят, "в яблочко", т.е. наше первоначальное допущение оказалось верным. В противном случае решение задачи резко усложнилось бы.         2. Приведем второй способ решения, используя математический аппарат Булевой алгебры:         Введем обозначения. Пусть суждение:        А = "АЛЕША ПОСТАВИЛ КЛЯКСУ", тогда          = "АЛЕША КЛЯКСУ НЕ СТАВИЛ".         Аналогичный смысл других суждений:         W = "ВИТЯ ПОСТАВИЛ КЛЯКСУ",          ="ВИТЯ КЛЯКСУ НЕ СТАВИЛ" и         В = "БОРЯ ПОСТАВИЛ КЛЯКСУ".          = "БОРЯ НЕ СТАВИЛ КЛЯКСУ".
K =  B
        Аналогично, запишем высказывание Бори, а именно:
L = W  
        Витя сказал, что Боря не ставил кляксу и что он не готовил уроки. Но последнее совершенно не значит, что Витя не мог поставить кляксу. Поэтому суждение Вити запишется так:
M = (W  ) =  1 = 
(W) = 1.
        Итак,
M = 
        По условию задачи двое мальчиков оба раза сказали правду, а один мальчик оба раза сказал неправду. Поэтому среди записанных нами трех формул К, L, M две истинны, а одна ложна. Мы не знаем, какая формула ложна. Но мы утверждаем, что если из этих формул образовать попарные дизъюнкции, то, поскольку в каждую дизъюнкцию будет входить по крайней мере истинная формула, эти дизъюнкции будут истинными. Преобразуем их, получив новую формулу:
X = K  L = (  B)  (W  ) 

Y = K  M = (  B)   =   (  B) = (  )  ( B) = (  )  1 =  
(   B) = (  B).
  (  B) = (  )  (  B).
(  ) = (  ).
Z = L  M = (W  )  
        Найдем конъюнкцию формул Х и Y. Она, конечно же, истинна:
X  Y = ((  B)  (W  ))  (  ) = (  B  )  (W    )  (  B  ) (W    ) = (  B)  (W    )
(  B  ) = (  B).
(W    ) = 0.
(B  ) = 0.
        Теперь найдем конъюнкцию трех формул X, Y, Z:X  Y  Z =(   B  (W    ))  ((W  )  ) =   B  W      B   W      W    W       = W  W        W       = W   
(  B  W) = 0.
(B  ) = 0.
(W      W   ) = (W  W      ).
(W  W    ) = (W  ).
(  ) = .
        Итак,
X  Y  Z = W    
        Из этой истинной конъюнкции следует, что Виктор ставил кляксу, а Алексей и Борис нет.