Question

Признаки подобия треугольник в и доказательство первого признака

Answer 1

Теорема I:
Треугольники подобны, если  хотя бы два угла в одном треугольнике соответственно равны двум углам в другом треугольнике.

Теорема II:
Треугольники считаются подобными, если  две из сторон одного треугольника будут соответственно пропорциональными двум сторонам второго треугольника.

Теорема III:
Треугольники считаются подобными, если соблюдается условие пропорциональности  трех сторон одного из них трем сторонам второго.

Доказательство I признака: 
∠А=∠А₁, ∠B=∠B₁
∠A+∠B+∠C 180°
∠A₁+∠B₁+∠C₁= 180°
 ∠C= 180 – ∠A – ∠B
∠C₁= 180° – ∠A₁ – ∠B₁, следовательно ∠С=∠С₁
Т.к.  ∠A=∠A₁, то $\frac{S*ABC}{S*A1B1C1} = \frac{AB*AC}{A1B1*A1B1}$
Т.к. ∠С=∠С₁, то $\frac{S*ABC}{S*A1B1C1} = \frac{CB*CA}{C1B1*C1A1}$
Т.к. ∠B=∠B₁, то $\frac{S* BA*BC}{S* B1A1*B1C1}= \frac{BC*BA}{B1A1*B1C1}$
Тогда $\frac{AB*AC}{A1B1*A1C1} = \frac{CA*CB}{C1B1*C1A1}= \frac{BA*BC}{B1C1*BA1}$

$\frac{AB*AC}{A1B1*A1C1} = \frac{BA*BC}{B1A1*B1C1}, \frac{AC}{A1C1} = \frac{BC}{B1C1}$

Следовательно, $\frac{AB}{A1B1} = \frac{AC}{A1C1} = \frac{BC}{B1C1}$

ЧТД