Question

Даны точки A(5 ;7 ;12),В(8;-7,9),С(1;-9;-5),D(1;-10;1) 1)Найдите угол между векторами АВ и АС

Answer 1

Даны точки A(5 ;7 ;12),В(8;-7,9),С(1;-9;-5),D(1;-10;1).

Находим координаты векторов и их модули:
АВ: (3; -14; -3), |AB| = √( 9 + 196 + 9) = √214 ≈ 14,62874.
АС: (-4; -16; -17), |AC| = √( 16 + 256 + 289) = √561 ≈ 23,68544.
Скалярное произведение равно:
3*(-4) + (-14)*(-16) + (-3)*(-17) =  -12 + 224 + 51 = 263.
cos α = 263/(√214*√561) = 0,759045.

Этому косинусу соответствует угол  0,708952 радиан или 40,61993°.

Answer 2

Для начала, нам понадобится рассчитать векторы AB и AC.

Вектор AB можно найти вычитая координаты точки A из координат точки B: AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (8 - 5, -7 - 7, 9 - 12) = (3, -14, -3)

Аналогично, вектор AC можно найти вычитая координаты точки A из координат точки C: AC = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) = (1 - 5, -9 - 7, -5 - 12) = (-4, -16, -17)

Теперь, чтобы найти угол между векторами AB и AC, мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (AB · AC) / (||AB|| * ||AC||)

где AB · AC - это скалярное произведение векторов AB и AC, а ||AB|| и ||AC|| - их длины.

Давайте начнем с расчета скалярного произведения AB и AC:

AB · AC = (3 * -4) + (-14 * -16) + (-3 * -17) = -12 + 224 + 51 = 263

Теперь мы должны рассчитать длины векторов AB и AC:

||AB|| = √(3^2 + (-14)^2 + (-3)^2) = √(9 + 196 + 9) = √(214) ≈ 14.63

||AC|| = √((-4)^2 + (-16)^2 + (-17)^2) = √(16 + 256 + 289) = √(561) ≈ 23.69

Теперь мы можем расчитать косинус угла θ:

cos(θ) = (263) / (14.63 * 23.69) ≈ 0.623

Для рассчета самого угла θ, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус) на калькуляторе или в программе:

θ ≈ arccos(0.623) ≈ 51.34 градусов

Таким образом, угол между векторами AB и AC составляет примерно 51.34 градусов.