Question

Найдите сумму всех натуральных n таких, что n больше или равно 1000 и НОК(128;n)=128*n

Answer 1

$n \leq 1000$ 
 так как НОК этих чисел равна $128*n$, следует что эти числа взаимно просты 
$128=2^7$ то есть числа должны быть , не кратны $2$ 
 $n=1;3;5;7;9;11...999$ 
отсюда по формуле арифметической прогрессий 
 $999=1+2(n-1)\\ n=500\\ S_{500}=\frac{2*1+2*499}{2}*500=250000$

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с тем, что такое НОК (наименьшее общее кратное).

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел - это наименьшее число, которое делится без остатка на оба этих числа. Например, НОК чисел 4 и 6 равен 12, потому что 12 делится без остатка на 4 и на 6.

Теперь давайте решим уравнение НОК(128, n) = 128 * n.

НОК(128, n) можно найти следующим образом: сначала разложим оба числа на простые множители, а затем возьмем максимальную степень каждого простого числа, которое встречается в разложении обоих чисел.

Разложение числа 128 на простые множители: 128 = 2^7.

Разложение числа n на простые множители: n = 2^a * 3^b * 5^c * ... , где a, b, c, ... - некоторые степени простых чисел.

Теперь вспомним, что НОК равен произведению всех простых множителей с максимальными степенями. В данном случае, это будет 2^7, так как 2 - единственный простой множитель, который встречается в разложении обоих чисел.

Теперь у нас есть уравнение 2^7 = 128 * n. Разделим обе части уравнения на 128: 2^7 / 128 = n.

Сокращаем: 2^(7-7) / (2^7 * 2^1) = n. Получаем: 1 / (2^1) = n. То есть n = 1/2 = 0.5.

Однако, в условии задачи сказано, что n должно быть натуральным числом. Так как 0.5 - не натуральное число, то нет таких натуральных n, что НОК(128, n) = 128 * n.

Следовательно, сумма всех натуральных n, для которых n больше или равно 1000 и НОК(128, n) = 128 * n, равна 0.