Question

Докажите, что для любого натурального числа n справедливо равенство: 2*3+3*4+...+(n+1)(n+2)=(n(n^2+6n+11))/3

Answer 1

Ответ @#$/##$/##$/@#$!#$^^/$/

Answer 2

Докажем методом математической индукции

1) докажем справедливость для n=1

$\displaystyle 2*3= \frac{1(1+6+11)}{3}\\6= \frac{18}{3}\\6=6$

2) предположим что равенство справедливо для n=k. Докажем что оно будет справедливо для n=k+1

Рассмотрим левую часть равенства:

$\displaystyle 2*3+3*4+...+(k+1)(k+2)+(k+2)(k+3)=\\= \frac{k(k^2+6k+11)}{3}+(k+2)(k+3)=\\ \frac{k(k^2+6k+11)+3(k+2)(k+3)}{3}=\\= \frac{k^3+6k^2+11k+3k^2+15k+18}{3}=\\= \frac{k^3+9k^2+26k+18}{3}= \frac{(k+1)(k^2+8k+18)}{3}$

теперь рассмотрим правую часть

$\displaystyle \frac{(k+1)((k+1)^2+6(k+1)+11)}{3}= \frac{(k+1)(k^2+2k+1+6k+6+11)}{3}\\= \frac{(k+1)(k^2+8k+18)}{3}$

левая и правая части равны


Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Answer 3

Чтобы доказать данное равенство, начнем с левой стороны и применим метод математической индукции для доказательства равенства для любого натурального числа n.

База индукции (n = 1):

Подставим n = 1 в левую сторону равенства: 2 * 3 = (1(1^2 + 6*1 + 11))/3 6 = (1 + 6 + 11)/3 6 = 18/3 6 = 6

База индукции выполняется.

Предположение индукции:

Предположим, что равенство выполняется для некоторого k, то есть: 2 * 3 + 3 * 4 + ... + (k + 1)(k + 2) = k(k^2 + 6k + 11)/3

Шаг индукции:

Докажем, что равенство выполняется для k + 1, используя предположение индукции: 2 * 3 + 3 * 4 + ... + (k + 1)(k + 2) + (k + 2)(k + 3) = (k + 1)((k + 1)^2 + 6(k + 1) + 11)/3

Разложим левую сторону равенства: k(k^2 + 6k + 11)/3 + (k + 2)(k + 3) = (k + 1)(k^2 + 6k + 11)/3

Упростим выражение: k(k^2 + 6k + 11)/3 + (k + 2)(k + 3) = (k^3 + 6k^2 + 11k)/3 + (k^2 + 5k + 6) (k^3 + 6k^2 + 11k + 3(k + 2)(k + 3))/3 = (k^3 + 6k^2 + 11k + 3k^2 + 15k + 18)/3 (k^3 + 9k^2 + 26k + 18)/3 = (k^3 + 9k^2 + 26k + 18)/3

Таким образом, равенство выполняется для k + 1.

Заключение:

Мы доказали, что для любого натурального числа n выполняется равенство: 2 * 3 + 3 * 4 + ... + (n + 1)(n + 2) = n(n^2 + 6n + 11)/3

Доказательство проведено методом математической индукции, начиная с базы индукции n = 1 и используя предположение индукции для k + 1.