Question

Исследовать функцию и построить ее график f(x)=x^3+3x+2

Answer 1

ДАНО

Y=x³ + 3*x + 2 

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y= 0  Корень: х₁ ≈ - 0,6 . 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 2. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞.

Горизонтальной асимптоты - нет. 

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= 3*x² + 3 = 3*(х² +1) =0 - корней нет    . 

7. Локальные экстремумы - нет.

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈(-∞;+∞) - во всем интервале существования. 

8. Вторая производная - Y"(x) = 6*x =0. 

Корень производной - точка перегиба Y"(1)= 0. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;0), Вогнутая – «ложка» Х∈(0;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. Наклонная асимптота - нет

12. График в приложении.

Answer 2

Для исследования функции и построения ее графика f(x) = x^3 + 3x + 2 применим следующие шаги:

1. Найдем область определения функции: так как функция является многочленом, то она определена для любого значения x. Таким образом, область определения f(x) - это множество всех действительных чисел.

2. Найдем точки пересечения с осями координат: чтобы найти точки пересечения с осью ОХ, решим уравнение f(x) = 0. Получим: x^3 + 3x + 2 = 0 Это уравнение не выражается аналитически через простые функции, поэтому мы можем использовать численные методы для его решения или построения графика с высокой точностью.

3. Найдем производную функции: производная позволяет найти экстремумы функции (максимумы и минимумы) и определить ее поведение. Для функции f(x) = x^3 + 3x + 2 производная будет: f'(x) = 3x^2 + 3

4. Найдем точки экстремума: для этого решим уравнение f'(x) = 0. Получим: 3x^2 + 3 = 0 3(x^2 + 1) = 0 x^2 + 1 = 0 x^2 = -1 Это уравнение не имеет действительных корней, значит, у функции нет точек экстремума.

5. Определим выпуклость функции: для этого найдем вторую производную f''(x). В данном случае: f''(x) = 6x

6. Определим точки перегиба: точки перегиба будут определяться уравнением f''(x) = 0. Получим: 6x = 0 x = 0 Таким образом, точка перегиба находится в точке (0, f(0)).

7. Построим график функции с учетом полученных данных:

При анализе графика можно заметить, что функция является возрастающей на всем области определения и не имеет точек экстремума. Также нет точек пересечения с осью OX, так как функция пересекает эту ось на определенной высоте.

Таким образом, график функции f(x) = x^3 + 3x + 2 выглядит следующим образом: