Question

Найдите промежутки убывания функции y = 2x -x^3

Answer 1

Y' = 2 - 3$x^{2}$
 2-3$x^{2}$=0
$x^{2}$ = $\frac{2}{3}$
x = $\sqrt{ \frac{2}{3} }$
или х = - $\sqrt{ \frac{2}{3} }$
рисуем координатную прямую, отмечаем эти точки и ставим знаки
-      +     -   
Ответ: (- ∞; - $\sqrt{ \frac{2}{3} }$ ] U [ $\sqrt{ \frac{2}{3} }$; + ∞)

Answer 2

Для нахождения промежутков убывания функции y = 2x - x^3, нам необходимо проанализировать её производную. Промежутки убывания функции соответствуют интервалам, на которых производная отрицательна.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y = 2x - x^3. Для этого возьмем производную от каждого члена по отдельности.

Производная первого члена (2x) равна 2, так как производная по x от x равна 1.

Производная второго члена (-x^3) требует применения правила степенной функции и правила дифференцирования произведения. Правило степенной функции гласит, что производная степенной функции равна произведению показателя степени на коэффициент при переменной, умноженному на переменную, возведенную в степень на единицу меньше.

Применяя это правило, мы получаем, что производная второго члена (-x^3) равна -3x^2.

Теперь сложим производные первого и второго членов, чтобы получить производную всей функции:

y' = 2 + (-3x^2) = -3x^2 + 2

Анализ промежутков убывания

Теперь проанализируем полученную производную, чтобы найти промежутки убывания функции. Мы знаем, что промежутки убывания соответствуют интервалам, на которых производная отрицательна.

Поставим производную равной нулю и решим уравнение:

-3x^2 + 2 = 0

Чтобы решить это уравнение, выражаем x:

-3x^2 = -2

x^2 = 2/3

x = ±√(2/3)

Теперь мы знаем, что функция имеет стационарные точки в x = √(2/3) и x = -√(2/3).

Анализ интервалов

Для анализа интервалов убывания функции, мы можем выбрать точки на каждом интервале и проверить знак производной в этих точках.

Выберем точку слева от x = -√(2/3), например, x = -1. Подставим эту точку в производную:

y' = -3(-1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1

Так как производная положительна, это означает, что функция увеличивается на этом интервале.

Теперь выберем точку между x = -√(2/3) и x = √(2/3), например, x = 0. Подставим эту точку в производную:

y' = -3(0)^2 + 2 = 2

Так как производная положительна, это означает, что функция увеличивается на этом интервале.

Наконец, выберем точку справа от x = √(2/3), например, x = 1. Подставим эту точку в производную:

y' = -3(1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1

Так как производная положительна, это означает, что функция увеличивается на этом интервале.

Вывод

Таким образом, функция y = 2x - x^3 убывает на всей числовой прямой, так как производная функции положительна на всей числовой прямой.