Question

Решите уравнение 6cos2x-14cos^2x-7sin2x=0 Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2]

Answer 1

$6cos2x-14cos^{2}x-7sin2x=0 6(cos^{2}x-sin^{2}x)-14cos^{2}x-14sinxcosx=0 6(cos^{2}x-sin^{2}x)-14(cos^{2}x-sinxcosx)=0 |:cos^{2}x 6(1-tg^{2}x)-14(1-tgx)=0 6(1-tgx)(1+tgx)-14(1-tgx)=0 (1-tgx)*(6(1+tgx)-14)=0 6+6tgx-14=0 6tgx=8 tgx=1,3 x=arctg1,3+ \pi n 1-tgx=0 tgx=1 x= \pi /4+ \pi n n=-1 x_{1}= \pi -arctg1,3 x_{2}= \pi - \pi /4=-3 \pi 4 n=-2 x_{1}=2 \pi -arctg1,3 x_{2}=2 \pi - \pi /4=7 \pi /4$

Answer 2

Для решения уравнения 6cos(2x) - 14cos^2(x) - 7sin(2x) = 0, заметим, что 6cos(2x) и 7sin(2x) есть производные косинуса и синуса соответственно. Значит, мы можем записать уравнение следующим образом:

6cos(2x) - 14(1 - sin^2(x)) - 7sin(2x) = 0,

6cos(2x) - 14 + 14sin^2(x) - 7sin(2x) = 0,

6cos(2x) - 7sin(2x) + 14sin^2(x) - 14 = 0.

Заметим, что 2x принадлежит отрезку [-3π/2; π/2], что означает, что -π/2 ≤ x ≤ π/4.

Теперь применим формулы двойного угла:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x).

sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Подставим эти значения в уравнение:

6(1 - 2sin^2(x)) - 7(2sin(x)cos(x)) + 14sin^2(x) - 14 = 0,

6 - 12sin^2(x) - 14sin(x)cos(x) + 14sin^2(x) - 14 = 0,

-12sin^2(x) + 14sin^2(x) - 14sin(x)cos(x) - 8 = 0,

2sin^2(x) - 14sin(x)cos(x) - 8 = 0.

Далее можно провести факторизацию и получить квадратное уравнение относительно sin(x):

2sin(x)(sin(x) - 7cos(x)) - 8 = 0.

Теперь рассмотрим два случая:

1. sin(x) = 0: В этом случае первое положение верно и sin(x) = 0. Из этого следует, что x = 0.

2. sin(x) - 7cos(x) = 4: Заметим, что sin(x) - 7cos(x) = sqrt(50) * (1/√50 * sin(x) - 7/√50 * cos(x)). Таким образом, мы можем записать: √50 * sin(x - α) = 4, где α = arcsin(1/√50) ≈ 0.1419. Тогда: sin(x - α) = 4/√50, и дальше: x - α = arcsin(4/√50), x = α + arcsin(4/√50).

Таким образом, корни уравнения x = 0 и x = α + arcsin(4/√50), где α ≈ 0.1419.