Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое при прибавлении к нему 17 делится на 20, а при прибавлении к нему 20 делится на 17.

Answer 1

Пусть искомое число х, тогда
х+17=20*k (1)
x+20=17*n (2); х, k и n натуральные числа; вычтем (2) из (1);
х+17-х-20=20*k-17*n;
20*k+20=17*n+17;
20*(k+1)=17*(n+1);
20*(k+1)/17=n+1;
(k+1) делится нацело на 17, при этом наименьшее значение (k+1) принимает при k=16;
подставим k=16 в (1):
х+17=20*16;
х=320-17=303;
Ответ: 303

Answer 2

Давайте обозначим искомое число как \( x \). Условие задачи можно записать в виде двух уравнений:

1. \( (x + 17) \mod 20 = 0 \) 2. \( (x + 20) \mod 17 = 0 \)

Здесь символ \( \mod \) обозначает операцию взятия остатка от деления.

Давайте решим эти уравнения.

1. Уравнение \( (x + 17) \mod 20 = 0 \) означает, что \( x + 17 \) делится на 20 без остатка. Так что, \( x + 17 \) должно быть кратным 20.

2. Уравнение \( (x + 20) \mod 17 = 0 \) означает, что \( x + 20 \) делится на 17 без остатка. Так что, \( x + 20 \) должно быть кратным 17.

Давайте найдем наименьшие числа, удовлетворяющие этим условиям.

1. Наименьшее число, кратное 20, больше или равное 17, - это 20. 2. Наименьшее число, кратное 17, больше или равное 20, - это 34.

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет обоим условиям, - это \( x = 20 \), так как оно удовлетворяет и \( x + 17 \) кратно 20, и \( x + 20 \) кратно 17.