Question

По кругу записано 2003 натуральных числа докажите что найдутся 2 соседних числа сумма которых четна

Answer 1

Два соседних натуральных числа n+(n+1)=2n+1 - дают всегда в сумме нечетное число. Поскольку по кругу написано нечетное количество натуральных чисел, всегда найдутся где-то рядом два нечетных числа (2k+1)+(2h+1)=2(k+h+1), сумма которых даст четное число.  

Answer 2

Предположим что нет такой четной суммы .Тогда возьмем число x оно допустим четное тогда его сосед справа нечетный.С лева тоже стоит такая пара "нечетн-четный"

и вот так весь круг."неч-чет-неч-чет...." но 2003 число нечетное и неделится на 2(пары) значит найдутся два числа рядом стоящие либо оба четные либо оба нечетные.А раз они такие их сумма четна.

Answer 3

Для доказательства того, что среди 2003 последовательных натуральных чисел найдутся два соседних числа, сумма которых четна, мы можем использовать принцип Дирихле.

Принцип Дирихле

Принцип Дирихле утверждает, что если n+1 объектов распределены в n ящиках, то хотя бы в одном из ящиков будет содержаться не менее двух объектов.

Применение принципа Дирихле

В данном случае, у нас есть 2003 последовательных натуральных числа, которые мы можем рассматривать как объекты, и 2002 интервала между ними, которые мы можем рассматривать как ящики. Если мы разместим эти числа в эти интервалы, то получим 2002 ящика.

Согласно принципу Дирихле, если мы разместим 2003 числа в 2002 интервалах, то хотя бы в одном из интервалов будет содержаться не менее двух чисел. Это означает, что среди 2003 последовательных натуральных чисел найдутся два соседних числа, сумма которых четна.

Доказательство

Давайте предположим, что все суммы двух соседних чисел из 2003 последовательных натуральных чисел нечетны. Это означает, что каждая сумма двух соседних чисел будет иметь остаток 1 при делении на 2.

Теперь рассмотрим сумму всех этих остатков: - Если каждая сумма имеет остаток 1, то сумма всех остатков будет иметь остаток 1 при делении на 2. - Но сумма всех остатков должна быть равна остатку от деления суммы всех чисел на 2. - Сумма всех чисел равна сумме арифметической прогрессии, где первый член равен 1, последний член равен 2003, а количество членов равно 2003. - Сумма арифметической прогрессии равна (количество членов * (первый член + последний член)) / 2. - В нашем случае, сумма всех чисел равна (2003 * (1 + 2003)) / 2 = 2003 * 2004 / 2 = 1002 * 2004. - Остаток от деления 1002 * 2004 на 2 равен 0.

Таким образом, мы приходим к противоречию: сумма всех остатков должна быть равна остатку от деления суммы всех чисел на 2, но мы получили, что сумма всех остатков равна 1, а остаток от деления суммы всех чисел на 2 равен 0.

Следовательно, наше предположение неверно, и среди 2003 последовательных натуральных чисел найдутся два соседних числа, сумма которых четна.

Ответ: Да, найдутся два соседних числа сумма которых четна.