Question

Решите пожалуйста или обьясните как преобразовать 2x - п на 2 cos(2x-п/2)=корень 3 cos

Answer 1

..................................

Answer 2

Чтобы решить уравнение \(2x - \frac{\pi}{2} = \sqrt{3}\cos(2x - \frac{\pi}{2})\), начнем с некоторых преобразований. Давайте обозначим \(y = 2x - \frac{\pi}{2}\), чтобы сделать запись более удобной. Тогда уравнение примет вид:

\[y = \sqrt{3}\cos y\]

Теперь мы можем рассмотреть это уравнение и попытаться найти его решения. Заметим, что \(\sqrt{3}\) - это просто \(\cos(\frac{\pi}{6})\), поэтому мы можем переписать уравнение как:

\[y = \cos(\frac{\pi}{6})\cos y\]

Теперь используем тригонометрическое тождество \(\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]\):

\[y = \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{6} - y\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} + y\right)\right]\]

Теперь мы можем решить это уравнение. Обратите внимание, что у нас есть сумма двух косинусов, равная переменной \(y\). Один из способов решения этого уравнения - исследовать значения угла \(y\) такие, что косинус суммы двух углов равен \(y\). Эти значения можно найти, используя таблицы тригонометрических функций или калькулятор.

\[y = \frac{\pi}{6} - y \quad \text{или} \quad y = \frac{\pi}{6} + y\]

Решая первое уравнение:

\[2y = \frac{\pi}{6} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{\pi}{12}\]

Решая второе уравнение:

\[y = \frac{\pi}{6} + y \quad \Rightarrow \quad 0 = \frac{\pi}{6}\]

Это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Теперь вернемся к переменной \(x\), используя \(y = 2x - \frac{\pi}{2}\):

\[\frac{\pi}{12} = 2x - \frac{\pi}{2}\]

Решаем это уравнение:

\[2x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7\pi}{24}\]

Таким образом, решение уравнения \(2x - \frac{\pi}{2} = \sqrt{3}\cos(2x - \frac{\pi}{2})\) в действительных числах - \(x = \frac{7\pi}{24}\).