Question

Помогите решить пожалуйста 1+log2(x+5)<log2(3x-1)+log2(x-1)

Answer 1

x+5<3x2+3x-x+1;3x2+x-4<0;Д=1квадрате-4*3*(-4)=1+48=49=7;x=1;x=-1.3

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом, используя свойства логарифмов.

Исходное неравенство: \[ \log_2(x + 5) < \log_2(3x - 1) + \log_2(x - 1) \]

1. Сначала объединим логарифмы справа: \[ \log_2(x + 5) < \log_2[(3x - 1)(x - 1)] \]

2. Затем применим свойство логарифма, согласно которому \(\log_a(b) = \log_a(c) \Rightarrow b = c\): \[ x + 5 < (3x - 1)(x - 1) \]

3. Раскроем скобки и упростим: \[ x + 5 < 3x^2 - 4x + 1 \]

4. Переносим все члены влево, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 3x^2 - 5x - 6 < 0 \]

5. Теперь решим это квадратное неравенство. Мы можем использовать метод интервалов, график, или применить формулу дискриминанта.

6. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \), где у нас \( a = 3, b = -5, c = -6 \). \[ D = (-5)^2 - 4(3)(-6) = 25 + 72 = 97 \]

7. Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня.

8. Теперь используем факт, что для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c\), если \(a > 0\), то уравнение отрицательно в интервалах между корнями. Если \(a < 0\), то уравнение положительно в этих интервалах.

9. В данном случае \(a = 3 > 0\), поэтому мы ищем интервалы, где уравнение \(3x^2 - 5x - 6\) отрицательно.

10. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(3x^2 - 5x - 6\). Решим уравнение \(3x^2 - 5x - 6 = 0\) и найдем два корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{97}}{6} \]

11. Полученные корни: \[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{97}}{6} \approx -0.75 \] \[ x_2 = \frac{5 + \sqrt{97}}{6} \approx 2.42 \]

12. Теперь мы можем построить интервалы и определить, в каких из них неравенство выполняется.

\[ (-\infty, \frac{5 - \sqrt{97}}{6}) \cup (\frac{5 + \sqrt{97}}{6}, +\infty) \]

Таким образом, решение неравенства \( \log_2(x + 5) < \log_2(3x - 1) + \log_2(x - 1) \) это:

\[ x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{97}}{6}) \cup (\frac{5 + \sqrt{97}}{6}, +\infty) \]