Question

При штамповке изделий бывает в среднем 20% брака. Для контроля отобрано 8 изделий. Найти: а) вероятность того, что два изделия окажутся бракованными; б) наивероятнейшее число бракованных изделий; в) вероятность наивероятнейшего числа бракованных изделий.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждое изделие может быть бракованным или небракованным, и вероятность брака постоянна для каждого изделия.

Пусть \( p \) - вероятность того, что изделие браковано, и \( q \) - вероятность того, что изделие небраковано. Тогда \( q = 1 - p \).

1. Вероятность того, что два изделия окажутся бракованными (\( P(X = 2) \)):

\[ P(X = 2) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где \( n \) - количество изделий, \( k \) - количество бракованных изделий, а \( C(n, k) \) - число сочетаний из \( n \) по \( k \) (в данном случае, \( C(8, 2) \)):

\[ P(X = 2) = C(8, 2) \cdot p^2 \cdot q^6 \]

\[ P(X = 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} \cdot p^2 \cdot q^6 \]

\[ P(X = 2) = 28 \cdot p^2 \cdot q^6 \]

2. Наивероятнейшее число бракованных изделий - это значение \( k \), при котором \( P(X = k) \) максимальна. В данном случае, \( k = 8 \cdot p \), так как 20% изделий бракованные:

\[ k = 8 \cdot p \]

3. Вероятность наивероятнейшего числа бракованных изделий (\( P(X = k) \)):

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

\[ P(X = k) = C(8, 8 \cdot p) \cdot p^{(8 \cdot p)} \cdot q^{(8 - 8 \cdot p)} \]

\[ P(X = k) = \frac{8!}{(8 \cdot p)!(8 - 8 \cdot p)!} \cdot p^{(8 \cdot p)} \cdot q^{(8 - 8 \cdot p)} \]

\[ P(X = k) = \frac{8!}{(8 \cdot p)!(8 \cdot (1-p))!} \cdot p^{(8 \cdot p)} \cdot (1-p)^{(8 - 8 \cdot p)} \]

Это уравнение может быть сложно вычислить в общем виде, но вы можете использовать его для нахождения вероятности наивероятнейшего числа бракованных изделий для конкретных значений \( p \).

Если у вас есть конкретное значение \( p \), я могу помочь вам дальше.