Question

решить систему 544-(4^-х)/32-(2^-х)>=17; log(х^2/16)((х+20)/16)<=1

Answer 1

$\begin{cases}\frac{544-4^{-x}}{32-2^{-x}}\geq17\\\log_{\frac{x^2}{16}}(\frac{x+20}{16})\leq1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}544-2^{-2x}\geq544-17\cdot2^{-x}\\\frac{x+20}{16}\leq\left(\frac{x^2}{16}\right)^1\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}2^{-2x}-17\cdot2^{-x}\leq0\\16x+320\leq16x^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2^{-2x}-17\cdot2^{-x}\leq0\\16x^2-16x-320\geq0\end{cases}$
$2^{-2x}-17\cdot2^{-x}=0\\2^{-x}\left(2^{-x}-17\right)=0\\2^x\neq0\Rightarrow2^{-x}=17\\-x=\log_2(17)\\x=-\log_2(17)\approx-4,09\\16x^2-16x-320=0\;\;\;\div16\\x^2-x-20=0\\D=1+4\cdot20=81=9^2\\x_1=-4,\;x_2=5\\\begin{cases}x\geq-\log_2(17)\\x\in(-\infty;\;-4)\cup[5;\;+\infty)\end{cases}\Rightarrow x\in[5;\;+\infty)$

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений и неравенств:

1. \(544 - \frac{4^{-x}}{32} - \frac{2^{-x}}{32} \geq 17\)

2. \(\log\left(\frac{x^2}{16}\right)\left(\frac{x+20}{16}\right) \leq 1\)

Начнем с первого неравенства:

\[544 - \frac{4^{-x}}{32} - \frac{2^{-x}}{32} \geq 17\]

Сначала упростим дроби, заметим, что \(4^{-x} = \frac{1}{4^x}\) и \(2^{-x} = \frac{1}{2^x}\):

\[544 - \frac{1}{32 \cdot 4^x} - \frac{1}{32 \cdot 2^x} \geq 17\]

Теперь приведем обе дроби к общему знаменателю, который равен \(32 \cdot 4^x \cdot 2^x = 2^{5x + 5}\):

\[544 - \frac{2^{5x + 5}}{32} - \frac{2^{5x + 5}}{16} \geq 17\]

Упростим числитель в каждой дроби:

\[544 - \frac{2^{5x + 5}}{32} - \frac{2^{5x + 5}}{16} = 544 - \frac{2^{5x + 5} + 2^{5x + 5} \cdot 2}{32}\]

\[= 544 - \frac{2^{5x + 5}(1 + 2)}{32} = 544 - \frac{3 \cdot 2^{5x + 5}}{32}\]

Теперь подставим обратно в неравенство:

\[544 - \frac{3 \cdot 2^{5x + 5}}{32} \geq 17\]

Умножим обе стороны на 32, чтобы избавиться от дроби:

\[544 \cdot 32 - 3 \cdot 2^{5x + 5} \geq 17 \cdot 32\]

\[17308 - 3 \cdot 2^{5x + 5} \geq 544\]

Выразим теперь слагаемое с экспонентой:

\[-3 \cdot 2^{5x + 5} \geq 544 - 17308\]

\[-3 \cdot 2^{5x + 5} \geq -16764\]

Теперь разделим обе стороны на -3, помним, что при делении на отрицательное число неравенство меняет знак:

\[2^{5x + 5} \leq \frac{16764}{3}\]

\[2^{5x + 5} \leq 5588\]

Теперь рассмотрим второе неравенство:

\[\log\left(\frac{x^2}{16}\right)\left(\frac{x+20}{16}\right) \leq 1\]

Для удобства заменим \(\frac{x^2}{16}\) на \(u\):

\[\log(u) \left(\frac{x+20}{16}\right) \leq 1\]

Подставим \(u = \frac{x^2}{16}\) обратно:

\[\log\left(\frac{x^2}{16}\right)\left(\frac{x+20}{16}\right) \leq 1\]

Теперь решим это уравнение:

\[\log(u) \left(\frac{x+20}{16}\right) \leq 1\]

Уберем дробь, умножив обе стороны на 16:

\[16 \log(u) \cdot (x+20) \leq 16\]

\[16 \log(u) \cdot x + 320 \log(u) \leq 16\]

\[16 \log\left(\frac{x^2}{16}\right) \cdot x + 320 \log\left(\frac{x^2}{16}\right) \leq 16\]

\[16 \left(2 \log(x) - 4\right) \cdot x + 320 \left(2 \log(x) - 4\right) \leq 16\]

\[32 \log(x) \cdot x - 64x + 640 \log(x) - 1280 \leq 16\]

\[32 \log(x) \cdot x + 640 \log(x) - 64x - 1296 \leq 0\]

Теперь решим это уравнение. Посмотрим на него, как на квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c \leq 0\), где \(a = 32 \log(x)\), \(b = -64\), \(c = 640 \log(x) - 1296\).

\[32 \log(x) \cdot x + 640 \log(x) - 64x - 1296 = 0\]

Теперь решим это уравнение. Обратите внимание, что логарифм должен быть определен и положителен, поэтому дополнительно учтем это условие при решении. Мы также заметим, что \(x\) не может быть равен 0.

\[32 \log(x) \cdot x + 640 \log(x) - 64x - 1296 = 0\]

Поделим обе стороны на 32:

\[\log(x) \cdot x + 20 \log(x) - 2x - 40 = 0\]

Теперь введем новую переменную \(y = \log(x)\):

\[y \cdot e^y + 20y - 2e^y - 40 = 0\]

Это уравнение не имеет аналитического решения, и его решение можно найти только численно. Поэтому мы будем использовать численные методы, например, метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти значение \(y\), а затем восстановим значение \(x\).