Question

1)исследовать функцию и построить ее график y=-x^3+3x-2 2)найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-1:2] 3)составить уравнение касательной к графику функции в точке х=-2 и начертить ее

Answer 1

Дана функция y = -x^3 + 3x - 2

1.Область определения функции: R.

2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.

График функции пересекает ось X при f = 0.
Дано уравнение:
- x^{3} + 3 x - 2 = 0.
преобразуем
3 x + - x^{3} + 1 - 3 = 0.
или
3 x + - x^{3} - -1 - 3 = 0.
3 \left(x - 1\right) - x^{3} - 1 = 0.
- x - 1 \left(x^{2} + x + 1^{2}\right) + 3 \left(x - 1\right) = 0.
Вынесем общий множитель -1 + x за скобки
получим:
\left(x - 1\right) \left(- x^{2} + x + 1^{2} + 3\right) = 0.
или
\left(x - 1\right) \left(- x^{2} - x + 2\right) = 0.
тогда:
x_{1} = 1 и также получаем уравнение
- x^{2} - x + 2 = 0.
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}.
x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}.
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a = -1.
b = -1.
c = 2,  то D = b^2 - 4 * a * c = (-1)^2 - 4 * (-1) * (2) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
x_{2} = -2.
x_{3} = 1.
Получаем окончательный ответ для -x^3 + 3*x - 2 = 0:
x_{1} = 1.
x_{2} = -2.
x_{3} = 1. То есть имеем 2 нуля функции при х = -2 и х = 1.

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + 3*x - 2.
-2 + 0^{3} + 0 \cdot 3.
Результат:
f{\left (0 \right )} = -2.
Точка:  (0, -2)

3. Промежутки знакопостоянства функции.

При двух нулях функции( х = -2 и х = 1) имеем 3 промежутка знакопостоянства функции: (-∞; -2), (-2; 1) и (1; +∞).

Определяем знаки функции на этих промежутках:

x > 0, y ∈ (-∞; -2),

x < 0, y ∈ (-2; 1) и (1; +∞).

4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).

Функция не чётная и не нечётная.

5. Периодичность графика - нет.

 6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - нет.

7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Находим производную функции: y' = -3x^2+3 = -3(x^2-1) и приравниваем её нулю: y' = -3(x^2-1) = 0.  х = +-1. Имеем 2 точки экстремума.

Определяем знаки производной вблизи этих точек.

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке: x_{2} = -1.
Максимум функции в точке: x_{2} = 1.
Убывает на промежутках [-1, 1] (-oo, -1] U [1, oo)

Возрастает на промежутке  [-1, 1]

9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты. При х → -+∞ функция → +-∞.

10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график - даны в приложении.

11. Построение графика функции по проведенному исследованию (в приложении).

Уравнение касательной в точке х = -2: у = -9х - 18.

Answer 2

1) Исследование функции и построение графика

Данная функция задана уравнением y = -x^3 + 3x - 2. Чтобы исследовать функцию и построить ее график, мы можем проанализировать ее основные характеристики, такие как область определения, область значений, поведение на бесконечности, экстремумы и точки перегиба.

Область определения: Функция определена для всех действительных значений x.

Область значений: Чтобы найти область значений функции, мы можем проанализировать ее поведение на бесконечности. Поскольку коэффициент при старшей степени x отрицательный, функция будет стремиться к отрицательной бесконечности при x -> -∞ и к положительной бесконечности при x -> +∞. Следовательно, область значений функции - это все отрицательные значения y.

Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем решим полученное уравнение для x. В данном случае, производная функции равна y' = -3x^2 + 3. Приравняем ее к нулю и решим уравнение:

-3x^2 + 3 = 0

Решая это уравнение, получим два значения x: x = -1 и x = 1. Это означает, что функция имеет два экстремума: минимум в точке x = -1 и максимум в точке x = 1.

Точки перегиба: Чтобы найти точки перегиба функции, необходимо найти вторую производную и найти ее корни. В данном случае, вторая производная функции равна y'' = -6x. Приравняем ее к нулю и решим уравнение:

-6x = 0

Решая это уравнение, получим x = 0. Это означает, что функция имеет точку перегиба в точке x = 0.

Теперь, когда мы проанализировали основные характеристики функции, мы можем построить ее график. Ниже приведен график функции y = -x^3 + 3x - 2:


2) Нахождение наибольшего и наименьшего значения на отрезке [-1:2]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [-1:2], мы можем вычислить значения функции в концах отрезка и в критических точках внутри отрезка, таких как экстремумы и точки перегиба.

Вычислим значения функции на концах отрезка: - При x = -1: y = -(-1)^3 + 3(-1) - 2 = -1 - 3 - 2 = -6 - При x = 2: y = -(2)^3 + 3(2) - 2 = -8 + 6 - 2 = -4

Теперь найдем значения функции в критических точках внутри отрезка: - При x = -1 (экстремум): y = -(-1)^3 + 3(-1) - 2 = -1 - 3 - 2 = -6

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1:2] равно -4, а наименьшее значение равно -6.

3) Составление уравнения касательной к графику функции в точке x = -2 и начертание ее

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке x = -2, мы должны найти значение производной функции в этой точке. Затем, используя это значение и координаты точки, мы можем составить уравнение касательной.

Производная функции y = -x^3 + 3x - 2 равна y' = -3x^2 + 3. Подставим x = -2 в это уравнение:

y' = -3(-2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9

Таким образом, значение производной в точке x = -2 равно -9. Теперь, используя это значение и координаты точки (-2, y), мы можем составить уравнение касательной.

Уравнение касательной имеет вид y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки на графике функции, а m - значение производной в этой точке.

Подставим значения в уравнение: y - y1 = -9(x - (-2))

Упростим: y - y1 = -9(x + 2)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x = -2 имеет вид y - y1 = -9(x + 2).

Теперь мы можем начертить эту касательную на графике функции. Ниже приведен график функции y = -x^3 + 3x - 2 с касательной в точке x = -2: