Question

Петя придумал четыре различных натуральных числа, записал на доске все их попарные суммы, а строчкой ниже все их суммы по три. Оказалось, что сумма двух самых больших чисел верхнего ряда и двух самых маленьких чисел нижнего ряда (итого четырех чисел) составляет 2017. Найдите наибольшее возможное значение суммы четырёх чисел, которые придумал Петя.

Answer 1

2019 но это у меня так получилось может быть это неверный ответ

Answer 2

Предположим, что Петя придумал четыре числа \(a, b, c\) и \(d\). Будем считать, что \(a > b > c > d\), так как числа различны.

Парные суммы, записанные Петей на доске, будут следующими:

1. \(a + b\) 2. \(a + c\) 3. \(a + d\) 4. \(b + c\) 5. \(b + d\) 6. \(c + d\)

Суммы по три числа:

1. \(a + b + c\) 2. \(a + b + d\) 3. \(a + c + d\) 4. \(b + c + d\)

Условие задачи гласит, что сумма двух самых больших чисел верхнего ряда и двух самых маленьких чисел нижнего ряда составляет 2017:

\((a + b) + (c + d) = 2017\)

Теперь рассмотрим все возможные варианты:

1. \((a + b) + (c + d) = a + b + c + d\) (сумма всех четырех чисел) 2. \((a + c) + (b + d) = a + b + c + d\) (сумма всех четырех чисел) 3. \((a + d) + (b + c) = a + b + c + d\) (сумма всех четырех чисел)

Таким образом, сумма всех четырех чисел равна половине суммы всех попарных сумм:

\[(a + b + c + d) = \frac{(a + b) + (a + c) + (a + d) + (b + c) + (b + d) + (c + d)}{2}\]

Теперь подставим условие \(a + b + c + d = 2017\) и решим уравнение:

\[\frac{(a + b) + (a + c) + (a + d) + (b + c) + (b + d) + (c + d)}{2} = 2017\]

\[(a + b) + (a + c) + (a + d) + (b + c) + (b + d) + (c + d) = 4034\]

Учитывая, что \(a + b + c + d = 2017\), мы можем выразить одну из переменных через остальные:

\[a = 2017 - b - c - d\]

Подставим это в уравнение:

\[(2017 - b - c - d + b) + (2017 - b - c - d + c) + (2017 - b - c - d + d) + (b + c) + (b + d) + (c + d) = 4034\]

Упростим:

\[6055 - 2b - 2c - 2d = 4034\]

\[2b + 2c + 2d = 2021\]

\[b + c + d = 1010\]

Таким образом, сумма трех наименьших чисел равна 1010. Поскольку \(a + b + c + d = 2017\), то значение \(a\) равно \(2017 - 1010 = 1007\).

Таким образом, наибольшее возможное значение суммы четырех чисел, которые придумал Петя, равно \(a + b + c + d = 1007 + 1010 = 2017\).