Question

Площадь круга вычисляется по формуле s пr^2 при измерении радиус оказался равным 5,2см причем максимально возможная при этом погрешность измерения ∆R не привышает 0,05см определить абсолютную и относительную погрешности допускаемые при вычислении площади круга по указанной формуле

Answer 1

Абсолютная погрешность функции одной переменной вычисляется по формуле:
df = |f*(x)|dx, где f*(x) - производная функции (в моих обозначениях, обычно вместо звездочки пишут штрих сверху), а dx - погрешность переменной х.
В данном случае абсолютная погрешность площади круга
dS = 2*Pi*rdr = 2*3,14*5,2*0,05 = 1,63.
Относительная погрешность dS/S = 2*Pi*rdr/(Pi*r^2) = 2dr/r =2*0,05/5,2 = 0,019.

Answer 2

Для вычисления абсолютной и относительной погрешности при измерении площади круга, сначала воспользуемся формулой для площади круга:

\[S = \pi r^2\]

где \(S\) - площадь, \(\pi\) - число Пи (приблизительно 3.14159), \(r\) - радиус.

Здесь \(r = 5.2 \, \text{см}\) и \(\Delta R = 0.05 \, \text{см}\) (погрешность измерения радиуса).

1. Абсолютная погрешность:

Абсолютная погрешность измерения площади вычисляется по следующей формуле:

\[\Delta S = \left| \frac{\partial S}{\partial r} \right| \Delta R\]

где \(\frac{\partial S}{\partial r}\) - частная производная площади по радиусу.

Вычислим частную производную:

\[\frac{\partial S}{\partial r} = 2\pi r\]

Теперь подставим значения:

\[\Delta S = \left| 2\pi \cdot 5.2 \, \text{см} \right| \cdot 0.05 \, \text{см}\]

\[\Delta S \approx 2 \cdot 3.14159 \cdot 5.2 \cdot 0.05 \, \text{см}^2\]

\[\Delta S \approx 0.65384 \, \text{см}^2\]

Таким образом, абсолютная погрешность при измерении площади круга составляет приблизительно \(0.65384 \, \text{см}^2\).

2. Относительная погрешность:

Относительная погрешность вычисляется по формуле:

\[\frac{\Delta S}{S} = \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta r}{r}\]

Подставим значения:

\[\frac{\Delta S}{S} = \frac{0.05}{5.2} + \frac{0.05}{5.2}\]

\[\frac{\Delta S}{S} \approx 0.0096\]

Относительная погрешность составляет приблизительно \(0.0096\) или \(0.96\%\).

Таким образом, абсолютная погрешность измерения площади круга равна приблизительно \(0.65384 \, \text{см}^2\), а относительная погрешность составляет приблизительно \(0.96\%\).