Question

Доказываем Докажите,что НОД (а,б) * НОК (а,б)=а*б: а)для взаимно простых чисел; б) для любых чисел. Сделайте пожалуйста правильно и ваш ответ будет лучшим.

Answer 1

А) взаимно простые числа. пример. А В 
А=а1*а2*а3*.....аn
В=b1*b2*b3.....bn
НОД(А;В)=1
НОК(А;В)=А*В так как нет общих делителей 
НОД(А;В)*НОК(А;В)=1*А*В=А*В

б) любиые числа А В
А=1*а1*с*2*а2
В=1*b1*c*2*b2
НОД(А;В)=1*2*с=2с
НОК(А;В)=1*2*с*а1*а2*b1*b2
НОД(А;В)*НОК(А;В)=2с*а1*а2*b1*b2*2*с=(2*с*а1*а2)*(2*с*b1*b2)=А*В

Answer 2

НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) двух чисел имеют определенные свойства, которые позволяют доказать, что НОД(а, б) * НОК(а, б) = а * б для разных случаев.

Доказательство для взаимно простых чисел (а и б):

Если числа а и б являются взаимно простыми, то их НОД равен 1. В этом случае, НОК(а, б) = а * б, так как НОК равен произведению чисел, если они взаимно просты. Таким образом, НОД(а, б) * НОК(а, б) = 1 * (а * б) = а * б. Это доказывает равенство для взаимно простых чисел.

Доказательство для любых чисел (а и б):

Если числа а и б не являются взаимно простыми, то их НОД будет больше 1. Пусть НОД(а, б) = d, где d > 1. Тогда существуют целые числа x и y, такие что а = dx и б = dy. Тогда НОК(а, б) = (а * б) / НОД(а, б) = (dx * dy) / d = x * y * (d / d) = x * y. Таким образом, НОД(а, б) * НОК(а, б) = d * (x * y) = (dx) * (dy) = а * б. Это доказывает равенство для любых чисел.

Таким образом, мы доказали, что НОД(а, б) * НОК(а, б) = а * б как для взаимно простых чисел, так и для любых чисел.