Question

Исследуйте функцию,постройте график f(x)=2x-1/(x-1)^2

Answer 1

ДАНО
$Y= \frac{2x-1}{(x-1)^2}$
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения - х ≠ 1 - разрыв при х=1.
D(x)∈(-∞;1)∪(1;+∞)
2. Область значений - Е(у)∈[-1;+∞).
3. Пересечение с осью ОХ 
Y(x) = 0,  2x - 1 = 0 и  х = 0,5
4. Пересечение с осью ОУ.
У(0) = -1.
5. Проверка на четность.
Y(-x) =(-2x-1)/(-x-1)² ≠ Y(x) -  функция ни чётная ни нечётная.
6. Первая производная.
$Y"(x)= \frac{(2x-1)(2-2x)}{ (x-1)^{4} }+ \frac{2}{(x-1)^2}=0$
7. Экстремум при х = 0.
Минимум -  Y(0) = -1.
Убывает -  Х∈(-∞;-1)∪(1;+∞)
Возрастает - Х∈(-1;1)
8. Точка перегиба - корень второй производной при Х= - 0,5
Выпуклая - "горка" - Х∈(-∞; -0.5]
Вогнутая - "ложка" - X∈[-0.5;1)∪[1;+∞)
9. Вертикальная асимптота - Y=1
10. Горизонтальная асимптота$\lim_{n \to \infty} \frac{2x-1}{x^2-2x+1}= \frac{2}{x}=0$
11. График в приложении.

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{2x - 1}{(x - 1)^2} \) более подробно.

Функция имеет две части в числителе и знаменателе:

1. Числитель: \( 2x - 1 \) 2. Знаменатель: \( (x - 1)^2 \)

Исследуем функцию шаг за шагом:

1. Найдем область определения:

Функция не определена при \( x = 1 \), так как в этом случае знаменатель становится равным нулю. Таким образом, область определения функции - все значения \( x \), кроме \( x = 1 \).

2. Найдем нули функции (решения уравнения \( f(x) = 0 \)):

\[ \frac{2x - 1}{(x - 1)^2} = 0 \]

Это уравнение равно нулю только тогда, когда числитель равен нулю, то есть \( 2x - 1 = 0 \). Решение этого уравнения:

\[ 2x = 1 \] \[ x = \frac{1}{2} \]

Таким образом, у функции есть один ноль при \( x = \frac{1}{2} \).

3. Найдем вертикальные асимптоты:

Вертикальная асимптота может возникнуть, когда знаменатель обращается в ноль. В данной функции вертикальной асимптоты нет, так как знаменатель \( (x - 1)^2 \) не обращается в ноль для любого значения \( x \), кроме \( x = 1 \), который не входит в область определения.

4. Найдем горизонтальные асимптоты:

Горизонтальная асимптота может существовать, если степень числителя меньше или равна степени знаменателя. В данной функции степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2). Поэтому у функции есть горизонтальная асимптота.

Для нахождения горизонтальной асимптоты поделим коэффициенты при соответствующих степенях переменной \( x \). В данном случае:

\[ y = \frac{2}{1} = 2 \]

Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота \( y = 2 \).

5. Построим график:

Для построения графика функции \( f(x) = \frac{2x - 1}{(x - 1)^2} \) можно использовать программы для визуализации функций, такие как Python с библиотекой Matplotlib или онлайн-калькуляторы функций.

График функции должен отражать область определения, нули, вертикальные и горизонтальные асимптоты.

Будьте внимательны при построении графика и учитывайте, что значение функции может стремиться к бесконечности в точках, где знаменатель близок к нулю.