Question

Квадрат целого числа имеет вид ...09 (оканчивается цифрами 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра – четная.

Answer 1

Квадрат нашего числа можно записать в виде N² = 100k+9, где k - натуральное. Нам нужно доказать, что последняя цифра в числе k - четная, то есть k - четное число. Преобразуем

$N^2 = 100k+9\\ 100k = (N-3)(N+3)$

Числа N-3 и N+3 имеют одинаковые остатки при делении на 6. Рассматривая возможные остатки от деления на 6 (0...5) и пользуясь тем, что произведение (N-3)(N+3) будет иметь тот же остаток, что и квадрат остатка сомножителей, мы получим возможные варианты
Остаток --- остаток квадрата остатка
0 --- 0
1 --- 1
2 --- 4
3 --- 3
4 --- 4
5 --- 1

Число 100k может давать следующие остатки при делении на 6.
k --- Остаток
1 --- 4
2 --- 2
3 --- 0
4 --- 4
5 --- 2
6 --- 0
и так далее

Сопоставляя две таблицы, мы понимаем, что k = 1, 4, 7..., то есть k=3m+1, где m - натуральное (100*0+9 = 109 - не квадрат). Нам осталось доказать, что m не может быть четным.

Итак

$k = 1+3m\\ N^2 = 300m+100+9 = 300m+109$

Число N^2 может иметь следующие остатки при делении на 8
0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1 и так далее

Число 109 дает 5 в остатке при делении на 8, число 300 - дает 4
Значит остатки от деления 300m+109 на 8 будут такие (m = 1, 2, 3...)
1, 5, 1, 5, 1 и так далее

Остаток 5 невозможен (см остатки N^2 при делении на 8), значит отсюда мы понимаем, что m обязано быть нечетным (тогда остаток будет 1).

Значит m - нечетно, 3m+1 = k - четно, и третья справа цифра тоже четна.

Answer 2

Давайте обозначим квадрат целого числа как \( n^2 \), где \( n \) - целое число.

Квадрат целого числа можно представить в виде: \[ n^2 = (10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2 \]

где \( a \) и \( b \) - цифры. Здесь \( a \) - десятки, \( b \) - единицы.

Теперь давайте рассмотрим последние две цифры \( n^2 \), то есть \( 20ab + b^2 \). Это выражение можно переписать, выделив \( b \) как общий множитель: \[ 20ab + b^2 = b(20a + b) \]

Таким образом, мы видим, что последние две цифры квадрата \( n \) зависят от \( b \).

Теперь утверждение состоит в том, что третья справа цифра \( b(20a + b) \) четная.

Рассмотрим два случая:

1. \( b \) - нечетное число. В этом случае, умножение нечетного числа \( b \) на любое целое число \( 20a + b \) также даст нечетное число. Сумма нечетного числа и нечетного числа также будет нечетной. Таким образом, если \( b \) - нечетное, то третья справа цифра четная.

2. \( b \) - четное число. В этом случае, умножение четного числа \( b \) на любое целое число \( 20a + b \) даст четное число. Сумма четного числа и четного числа также будет четной. Таким образом, если \( b \) - четное, то третья справа цифра четная.

Таким образом, в обоих случаях третья справа цифра \( b(20a + b) \) четная, что завершает доказательство.