Question

Сегодня в самостоятельной был пример, совсем его не поняла (хотя учительница говорила, что самеые легкие нам дала). Может, кто знает? 5sin x - 4sin x cos x + 5cos x = 5

Answer 1

В тригонометрии если не знаешь, что делать -> используй универсальную тригонометрическую подстановку
sin x = 2t / (t^2 + 1)
cos x = (1 - t^2) / (t^2 + 1)
t = tg(x/2)

Подставляем и сразу домножаем на (t^2 + 1)^2:
10t(t^2 + 1) - 8t(1 - t^2) + 5(1 - t^2)(1 + t^2) = 5(t^2 + 1)^2
2 t - 10 t^2 + 18 t^3 - 10 t^4 = 0
t(5t^3 - 9t^2 + 5t - 1) = 0

Один из корней второй скобки легко угадать, это t = 1. Деля вторую скобку на (t - 1) например, столбиком, узнаём разложение на множители
5t^3 - 9t^2 + 5t - 1 = (t - 1)(5t^2 - 4t + 1)

t(t - 1)(5t^2 - 4t + 1) = 0
t = 0  или  t = 1 (у квадратного трёхчлена корней нет)

tg(x/2) = 0
x/2 = pi*n
x = 2pi*n

tg(x/2) = 1
x/2 = pi/4 + pi*m
x = pi/2 + 2pi*m

Ответ. x = 2pi*n, x = pi/2 + 2pi*m.

Answer 2

Дано уравнение: 5sin(x) - 4sin(x)cos(x) + 5cos(x) = 5.

Для начала, давайте попробуем привести данное уравнение к более простому виду. Разделим все члены уравнения на 5:

sin(x) - 0.8sin(x)cos(x) + cos(x) = 1.

Заметим, что в данном уравнении присутствует произведение sin(x) и cos(x). Для упрощения, воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

sin(x) - 0.8 * sin(x)cos(x) + cos(x) = 1.

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

sin(x) - 0.8 * sin(x)cos(x) + cos(x) - 1 = 0.

Теперь попробуем факторизовать это уравнение:

(sin(x) + cos(x))(1 - 0.8sin(x)) = 0.

Таким образом, получаем два уравнения:

1) sin(x) + cos(x) = 0.

2) 1 - 0.8sin(x) = 0.

Рассмотрим первое уравнение sin(x) + cos(x) = 0. Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(x + π/4) = sin(x)cos(π/4) + cos(x)sin(π/4):

sin(x + π/4) = 0.

Теперь найдем все значения x, для которых sin(x + π/4) = 0. Это происходит, когда аргумент sin равен nπ, где n - целое число:

x + π/4 = nπ.

x = nπ - π/4.

Теперь рассмотрим второе уравнение 1 - 0.8sin(x) = 0:

0.8sin(x) = 1.

sin(x) = 1/0.8.

sin(x) = 5/4.

Найдем все значения x, для которых sin(x) = 5/4. Однако, так как sin(x) ограничен от -1 до 1, то нет таких значений x, для которых sin(x) = 5/4.

Таким образом, решением данного уравнения являются все значения x, которые удовлетворяют первому уравнению sin(x) + cos(x) = 0:

x = nπ - π/4, где n - целое число.