Question

Решите два примера. Только опишите подробно,ход решений! Тема: Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.Пример 12x-3y+6=0 y=0 ; x=3Пример 2y=-x^2+6x-5 y=0 ; x=2 ; x=3

Answer 1

1. 2x-3y+6=0
3y = 2x+6
y = 2/3x+2
Точка пересечения графиков (приравниваем функции).
2/3x+2 = 0
2/3x = -2
x = -3
M(-3; 0)
Фигура сверху ограничена прямой y = 2/3x+2, снизу прямой y=0, слева точкой x=-3, справа прямой x=3.
$\int_{-3}^3(\frac23x+2-0)dx=\int_{-3}^3(\frac23x+2)dx=\left.(\frac13x^2+2x)\right|_{-3}^3=\\=\frac13(3)^2+2\cdot3-\frac13(-3)^2-2(-3)=\frac93+6-\frac93+6=12$
2. Сверху фигура ограничена параболой y=-x^2+6x-5, снизу прямой y=0, слева и справа прямыми x=2 и x=3 соответственно.
$\int_2^3(-x^2+6x-5-0)dx=\int_2^3(-x^2+6x-5)dx=\\=\left.(-\frac13x^3+3x^2-5x)\right|_2^3=-\frac{(3)^3}3+3(3)^2-5\cdot3+\frac{(2)^3}3-3(2)^2+5\cdot2=\\=-9+27-15+\frac83-12+10=1+\frac83=1+2\frac23=3\frac23$



Решается просто: сначала нарисуйте заданные линии (можно схематически), затем определите левую и правую границы (они либо заданы, как в примере 2, либо находятся, как точки пересечения графиков). Эти границы будут пределами интегрирования. Под знаком интеграла вычитаем из "верхней" (график которой выше) функции "нижнюю" (график которой ниже).

Answer 2

Для решения задачи на вычисление площадей плоских фигур с использованием определенного интеграла, нам нужно найти уравнение кривой, заданной в условии, а затем воспользоваться формулой определенного интеграла для вычисления площади под кривой между заданными пределами.

Пример 1: Уравнение: \(12x - 3y + 6 = 0\)

Нам нужно выразить \(y\) через \(x\). Для этого перепишем уравнение в виде \(y = f(x)\):

\[12x - 3y + 6 = 0\]

\[3y = 12x + 6\]

\[y = 4x + 2\]

Теперь мы имеем уравнение кривой \(y = 4x + 2\). Площадь под кривой на интервале от \(x = 0\) до \(x = 3\) можно вычислить с использованием определенного интеграла:

\[S = \int_{0}^{3} (4x + 2) \,dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S = \left[2x^2 + 2x\right]_{0}^{3}\]

\[S = (2(3)^2 + 2(3)) - (2(0)^2 + 2(0))\]

\[S = (18 + 6) - 0\]

\[S = 24\]

Таким образом, площадь под кривой равна 24.

Пример 2: Уравнение: \(2y = -x^2 + 6x - 5\)

Перепишем уравнение, выражая \(y\) через \(x\):

\[y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2}\]

Теперь у нас есть уравнение кривой \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2}\). Найдем площадь под этой кривой между \(x = 2\) и \(x = 3\):

\[S = \int_{2}^{3} \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2}\right) \,dx\]

Вычислим интеграл:

\[S = \left[-\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}x\right]_{2}^{3}\]

\[S = \left[-\frac{1}{6}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{5}{2}(3)\right] - \left[-\frac{1}{6}(2)^3 + \frac{3}{2}(2)^2 - \frac{5}{2}(2)\right]\]

\[S = \left[-\frac{27}{6} + \frac{27}{2} - \frac{15}{2}\right] - \left[-\frac{8}{6} + 6 - 5\right]\]

\[S = \left[-\frac{13}{6}\right] - \left[-\frac{1}{6}\right]\]

\[S = -\frac{12}{6}\]

\[S = -2\]

Таким образом, площадь под кривой равна -2. Площадь здесь отрицательная, что говорит о том, что кривая на этом интервале находится ниже оси \(x\).