Question

Найти наибольший общий натуральный делитель чисел (2n+3) и (n+7), где n - натуральноечисло.

Answer 1

(2n+3) (n+7)=2n²+14n+3n+21=2n²+17n+21 
D= b²-4ac=289-168=121
n1=-17+11/4=-6/4=-3/2=-1.5
n2=-17-11/4=-28/4=-7

Answer 2

Давайте найдем наибольший общий натуральный делитель (НОД) для чисел (2n + 3) и (n + 7), где n - натуральное число.

Обозначим \(a = 2n + 3\) и \(b = n + 7\). Теперь мы ищем НОД(a, b).

1. Выразим \(n\) через \(a\) и \(b\): \[ n = b - 7 \]

2. Подставим это значение обратно в выражение для \(a\): \[ 2n + 3 = 2(b - 7) + 3 = 2b - 14 + 3 = 2b - 11 \]

Таким образом, \(2n + 3 = 2b - 11\).

3. Теперь у нас есть два выражения: \(a = 2b - 11\) и \(b = n + 7\). Мы можем подставить одно выражение в другое: \[ a = 2(n + 7) - 11 = 2n + 14 - 11 = 2n + 3 \]

Таким образом, \(a = 2n + 3\) и \(b = n + 7\), что соответствует исходным числам.

4. Теперь мы можем найти НОД(a, b) с использованием алгоритма Евклида. Вычитаем \(b\) из \(a\) до тех пор, пока не получим НОД:

\[ \text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(2n + 3, n + 7) \]

\[ \text{НОД}(2n + 3, n + 7) = \text{НОД}(2n + 3 - (n + 7), n + 7) \] \[ = \text{НОД}(n - 4, n + 7) \]

Повторяем этот процесс: \[ = \text{НОД}((n + 7) - (n - 4), n - 4) \] \[ = \text{НОД}(11, n - 4) \]

И так далее.

5. Продолжаем вычитать \(n - 4\) из 11, пока не получим остаток 0. На этом этапе значение \(n - 4\) будет равно \(11 - 7 = 4\).

\[ \text{НОД}(11, 4) = \text{НОД}(4, 3) \]

6. Теперь вычитаем 3 из 4:

\[ \text{НОД}(4, 3) = \text{НОД}(3, 1) \]

7. Наконец, вычитаем 1 из 3:

\[ \text{НОД}(3, 1) = \text{НОД}(1, 0) \]

8. Получили остаток 0, и последнее ненулевое число - 1, является наибольшим общим делителем чисел \(2n + 3\) и \(n + 7\).

Таким образом, НОД\((2n + 3, n + 7) = 1\).