Question

Найти частное решение дифференциального уравнения y''+2y'+y=x+sinx y(0)=0 y'(0)=0

Answer 1

$y''+2y'+y=x+sinx\\\lambda^2+2\lambda^2+1=0\\(\lambda^2+1)^2=0\\\lambda_{1,2}=-1\\Y=C_1e^{-x}+xC_2e^{-x}$
$\hat{y}=Ax+B+Ccosx+Dsinx\\\hat{y}'=A-Csinx+Dcosx\\\hat{y}''=-Ccosx-Dsinx\\-Ccosx-Dsinx+2A-2Csinx+2Dcosx+Ax+B+Ccosx+\\+Dsinx=x+sinx\\Ax+x^0(2A+B)-2Csinx+2Dcosx=x+sinx\\x|1=A\\x^0|0=2A+B=\ \textgreater \ B=-2\\sinx|1=-2C=\ \textgreater \ C=-\frac{1}{2}\\cosx|0=2D=\ \textgreater \ D=0\\\hat{y}=x-2-\frac{1}{2}cosx$
$y=Y+\hat{y}=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+x-2-\frac{1}{2}cosx\\y(0)=0:C_1-2-\frac{1}{2}=0\\C_1=\frac{5}{2}\\y'(0)=0:-C_1e^{-x}+C_2(e^{-x}-xe^{-x})+1+\frac{1}{2}sinx=0\\-C_1+C_2+1=0\\-\frac{5}{2}+C_2+1=0\\C_2=\frac{3}{2}\\y=\frac{5}{2}e^{-x}+\frac{3}{2}xe^{-x}+x-2-\frac{1}{2}cosx$
Проверка:
$y=\frac{5}{2}e^{-x}+\frac{3}{2}xe^{-x}+x-2-\frac{1}{2}cosx\\y'=-e^{-x}-\frac{3}{2}xe^{-x}+1+\frac{1}{2}sinx\\y''=-\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{3}{2}xe^{-x}+\frac{1}{2}cosx\\\\-\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{3}{2}xe^{-x}+\frac{1}{2}cosx-2e^{-x}-3xe^{-x}+2+sinx+\\\\+\frac{5}{2}e^{-x}+\frac{3}{2}xe^{-x}+x-2-\frac{1}{2}cosx=x+sinx\\x+sinx=x+sinx$
Ответ верный.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, и чтобы найти его частное решение, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Первым шагом давайте найдем характеристическое уравнение:

\[r^2 + 2r + 1 = 0.\]

Это уравнение можно записать в виде \((r + 1)^2 = 0\), откуда получаем один корень \(r = -1\) кратности 2.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

\[y_h(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x},\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.

Теперь, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, представим его в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения. Частное решение будем искать в виде \(y_p(x) = Ax + B\), где \(A\) и \(B\) - некоторые постоянные.

Теперь найдем производные \(y_p(x)\):

\[y'_p(x) = A,\] \[y''_p(x) = 0.\]

Подставим их в исходное уравнение:

\[0 + 2(A) + (Ax + B) = x + \sin(x).\]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x\), получаем систему уравнений:

\[2A + B = 1,\] \[A = 1.\]

Решая эту систему, мы находим, что \(A = 1\) и \(B = -1\).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

\[y_p(x) = x - 1.\]

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного и частного решения:

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} + x - 1.\]

Используя начальные условия \(y(0) = 0\) и \(y'(0) = 0\), мы можем определить значения постоянных \(C_1\) и \(C_2\):

\[y(0) = C_1 + 0 - 1 = 0 \implies C_1 = 1,\] \[y'(0) = -C_1 + C_2 - 0 = 0 \implies C_2 = 1.\]

Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями:

\[y(x) = (1 + x)e^{-x} + x - 1.\]