Question

а) Решите уравнение: 8^x −7·4^x −2^x+4 + 112 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log2 5;log2 11]. Помогите решить!

Answer 1

В прик. файле задание N13

Answer 2

Смотри решение на фото. Ответ Log7 по основанию 2.

Answer 3

Давайте решим уравнение по очереди.

а) Для решения уравнения 8^x - 7·4^x - 2^x + 4 = 112, мы можем использовать численные методы или применить алгебраические методы. Я расскажу об алгебраическом методе.

Первым шагом, давайте заменим 8^x и 4^x на (2^3)^x и (2^2)^x соответственно, чтобы упростить уравнение:

(2^3)^x - 7·(2^2)^x - 2^x + 4 = 112

Теперь давайте заменим 2^x на переменную t:

t^3 - 7·t^2 - t + 4 = 112

Получается кубическое уравнение. Мы можем попробовать найти его рациональные корни, используя рациональный корень 2, так как это один из возможных корней из уравнения 2^x = t.

Подставим t = 2 в уравнение:

(2)^3 - 7·(2)^2 - (2) + 4 = 8 - 28 - 2 + 4 = -18

Как видно, t = 2 не является корнем уравнения. Поэтому, мы должны использовать другие методы, например, численные методы, чтобы найти корни этого уравнения. Программы, такие как программирование методом половинного деления или методом Ньютона, могут помочь в этом.

б) Чтобы найти корни уравнения, принадлежащие отрезку [log2 5, log2 11], мы можем сначала найти значения уравнения на концах отрезка и затем использовать метод интерполяции.

Заменим t обратно на 2^x. Получаем уравнение:

(2^x)^3 - 7·(2^x)^2 - (2^x) + 4 = 112

Теперь представим, что t = 2^x, и найдем значения на концах отрезка:

t = 2^log2 5 = 5 t = 2^log2 11 = 11

Теперь мы знаем, что корни уравнения должны лежать между 5 и 11.

Чтобы найти корни на этом отрезке, мы можем использовать метод интерполяции, например, метод бисекции или метод Ньютона. Эти методы позволяют нам приближенно найти значения корней.

Однако, такие вычисления требуют использования программного кода, чтобы эффективно справиться с итерациями и приближением корней. Я могу помочь вам с кодом, если вы заинтересованы в численном решении этого уравнения.