Question

Найдите наименьшее значение функции y=4^x²-2x+5

Answer 1

Обычное квадратное уравнение
D=$b ^{2}$ - 4ac
D= 4 - 4*4*5= 4 - 80 = -76
Ответ:корней нет.

Answer 2

D=b2-4ac
d=4-4*4*5
d- отрецательный, корней-нет => нет и наименьшего корня

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения функции y = 4^x^2 - 2x + 5 нужно использовать метод дифференцирования. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума.

Нахождение производной

Для начала найдем производную функции y = 4^x^2 - 2x + 5. Для этого применим правила дифференцирования.

Применим правило степенной функции (n * x^(n-1)) и правило суммы (производная суммы равна сумме производных):

y' = (d/dx)(4^x^2) - (d/dx)(2x) + (d/dx)(5)

Производная 4^x^2

Чтобы продифференцировать функцию 4^x^2, используем цепное правило. Обозначим 4^x^2 как u = 4^x^2 и возьмем его производную.

u' = (d/dx)(4^x^2) = (d/dx)(e^(ln(4^x^2))) = (d/dx)(e^(2ln(4x))) = e^(2ln(4x)) * (d/dx)(2ln(4x))

Теперь продифференцируем 2ln(4x) с помощью правила производной логарифма (d/dx)(ln(u)) = 1/u * (d/dx)(u).

u = 4x

(d/dx)(2ln(4x)) = 2 * (1/4x) * (d/dx)(4x) = 2 * (1/4x) * 4 = 2/x

Теперь подставим это значение обратно в производную 4^x^2:

u' = e^(2ln(4x)) * (2/x) = 2e^(2ln(4x))/x

Производная 2x

Производная функции 2x равна 2.

Производная 5

Производная константы 5 равна 0.

Итоговая производная

Теперь объединим все производные:

y' = 2e^(2ln(4x))/x - 2 + 0 = 2e^(2ln(4x))/x - 2

Нахождение точек экстремума

Теперь приравняем производную y' к нулю и решим уравнение для нахождения точек экстремума:

2e^(2ln(4x))/x - 2 = 0

2e^(2ln(4x))/x = 2

e^(2ln(4x))/x = 1

e^(2ln(4x)) = x

4x = x

3x = 0

x = 0

Нахождение значения функции

Теперь найдем значение функции y в найденной точке x = 0:

y = 4^0^2 - 2(0) + 5

y = 1 - 0 + 5

y = 6

Ответ

Таким образом, наименьшее значение функции y = 4^x^2 - 2x + 5 равно 6 и достигается при x = 0.