Question

Сумма десяти чисел равна нулю и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма кубов этих чисел?

Answer 1

(13*0)=0, (10*(-11)=-110, (7*-6)=-42, 8*3=24, -8*-16=128
теперь всё складываем - 0+(-110)+(-42)+24+128=0

Answer 2

Допустим, у нас есть десять чисел \(a_1, a_2, \ldots, a_{10}\), и известно, что их сумма равна нулю (\(a_1 + a_2 + \ldots + a_{10} = 0\)), а сумма их попарных произведений также равна нулю (\(a_1 \cdot a_2 + a_2 \cdot a_3 + \ldots + a_9 \cdot a_{10} + a_{10} \cdot a_1 = 0\)).

Теперь давайте рассмотрим выражение для суммы кубов этих чисел:

\[S = a_1^3 + a_2^3 + \ldots + a_{10}^3.\]

Мы хотим выразить эту сумму через заданные условия. Рассмотрим выражение \((a_1 + a_2 + \ldots + a_{10})^3\):

\[(a_1 + a_2 + \ldots + a_{10})^3 = a_1^3 + a_2^3 + \ldots + a_{10}^3 + 3(a_1^2a_2 + a_2^2a_3 + \ldots + a_9^2a_{10} + a_{10}^2a_1) + 6(a_1a_2a_3 + a_2a_3a_4 + \ldots + a_8a_9a_{10} + a_9a_{10}a_1 + a_{10}a_1a_2) + 8(a_1a_2a_3a_4 + a_2a_3a_4a_5 + \ldots + a_7a_8a_9a_{10} + a_8a_9a_{10}a_1 + a_9a_{10}a_1a_2 + a_{10}a_1a_2a_3).\]

Так как сумма чисел равна нулю и сумма попарных произведений равна нулю, многие члены в этом выражении будут равны нулю. В конечном итоге мы получим:

\[0 = a_1^3 + a_2^3 + \ldots + a_{10}^3 + 3(a_1^2a_2 + a_2^2a_3 + \ldots + a_9^2a_{10} + a_{10}^2a_1).\]

Теперь мы можем выразить сумму кубов через попарные произведения:

\[S = -3(a_1^2a_2 + a_2^2a_3 + \ldots + a_9^2a_{10} + a_{10}^2a_1).\]

Таким образом, сумма кубов этих чисел равна \(-3\) раз сумме попарных произведений.