Question

Помогите решить неравенство: 2 ≤9^x+3^x ≤6 . Можно подробное решение, ответ: [0;log3(2)]

Answer 1

................................

Answer 2

Дано неравенство: 2 ≤ 9^x + 3^x ≤ 6.

Для начала, заметим, что 9^x = (3^2)^x = 3^(2x). Теперь неравенство можно записать так: 2 ≤ 3^(2x) + 3^x ≤ 6.

Для удобства введем новую переменную: t = 3^x. Тогда неравенство можно переписать в виде: 2 ≤ t^2 + t ≤ 6.

Решим квадратное неравенство t^2 + t ≤ 6. Для этого сначала найдем его корни, равные t_1 = -3 и t_2 = 2. Теперь разобьем область значений на три интервала: (-∞, -3), [-3, 2] и (2, +∞).

1) Проверим интервал (-∞, -3): Выберем произвольное значение t_0 из этого интервала, например, t_0 = -4. Подставим t_0 в неравенство: (-4)^2 + (-4) ≤ 6. 16 - 4 ≤ 6. 12 ≤ 6. Неравенство не выполняется, значит, интервал (-∞, -3) не является решением.

2) Проверим интервал [-3, 2]: Выберем произвольное значение t_0 из этого интервала, например, t_0 = 0. Подставим t_0 в неравенство: 0^2 + 0 ≤ 6. 0 ≤ 6. Неравенство выполняется, значит, интервал [-3, 2] является решением.

3) Проверим интервал (2, +∞): Выберем произвольное значение t_0 из этого интервала, например, t_0 = 3. Подставим t_0 в неравенство: 3^2 + 3 ≤ 6. 9 + 3 ≤ 6. 12 ≤ 6. Неравенство не выполняется, значит, интервал (2, +∞) не является решением.

Таким образом, единственным интервалом, удовлетворяющим неравенству t^2 + t ≤ 6, является [-3, 2].

Теперь найдем значения x, соответствующие этому интервалу. Так как t = 3^x, то на интервале [-3, 2] выполняется неравенство 3^x ∈ [-3, 2]. Возведем обе части неравенства в логарифм по основанию 3 (логарифмирование сохраняет знак неравенства): x ∈ [log3(-3), log3(2)].

Однако, логарифм отрицательного числа не определен, поэтому отбросим интервал [log3(-3), log3(2)].

Таким образом, решением исходного неравенства 2 ≤ 9^x + 3^x ≤ 6 является интервал [0, log3(2)].