Question

1) а) решите уравнение cos2x+sin2x=0,5 б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезав [7п/2, -2п] 2) решите неравенство: 4x - 7*2x +10<0

Answer 1

1) Дано уравнение: cos2x+sin2x=0,5.
Воспользуемся формулой:
$cosx+sinx = \sqrt{2} sin(x+ \frac{ \pi }{4}).$
Для нашей задачи:
$cos(2x)+sin(2x)= \sqrt{2}sin(2x+ \frac{ \pi }{4} ).$
Приравняем выражение 0,5.
$\sqrt{2}sin(2x+ \frac{ \pi }{4} )=0,5.$
Разделим на √2 обе части и выразим относительно х:
$2x+ \frac{ \pi }{4} = arc sin\frac{1}{2 \sqrt{2} } .$
$x= \frac{1}{2}arc sin \frac{1}{2 \sqrt{2} } - \frac{ \pi }{8} .$

Общий вид решения уравнения  sin x = a,  где  | a | ≤ 1, определяется формулой:

x = (-1)^k* arcsin(a) + πk,  k ∈ Z (целые числа),

На заданном отрезке [7п/2, -2п] имеется 11 значений, соответствующих корням этого уравнения:
-5,28577                   0,997414                 7,2806
-3,35361                   2,92958                   9,21276
-2,14418                   4,13901                   10,4222.
-0,212016                  6,07117
 
2) В заданном неравенстве 4x - 7*2x +10<0   что то неверно записано - или квадрат пропущен или сложить члены с х:  4x - 7*2x = -10х.
Тогда неравенство: 4x - 7*2x +10<0 будет иметь вид -10х-10 < 0.
10х > 10.
x > 1.
Если пропущен квадрат 4x² - 7*2x +10<0, то получим квадратное неравенство 4x² - 14x +10<0.
Находим крайние точки, при которых квадратный трёхчлен равен 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-14)^2-4*4*10=196-4*4*10=196-16*10=196-160=36;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√36-(-14))/(2*4)=(6-(-14))/(2*4)=(6+14)/(2*4)=20/(2*4)=20/8=2,5;x_2=(-√36-(-14))/(2*4)=(-6-(-14))/(2*4)=(-6+14)/(2*4)=8/(2*4)=8/8=1.Получаем ответ: 1 < x <2,5

Answer 2

а) Решение уравнения cos(2x) + sin(2x) = 0,5:

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Заметим, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) и sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим эти выражения в исходное уравнение:

1 - 2sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) = 0,5

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + 0,5 - 1 = 0

2sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) - 0,5 = 0

Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-2cos(x))^2 - 4*2*(-0,5) = 4cos^2(x) + 8 = 4(cos^2(x) + 2)

D > 0, если cos^2(x) + 2 > 0. Так как cos^2(x) не может быть отрицательным, то это неравенство выполняется для любых значений cos(x).

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений.

б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2, -2π]:

Для этого подставим значения отрезка в уравнение и найдем значения x, при которых уравнение выполняется.

Подставим x = 7π/2:

cos(2*(7π/2)) + sin(2*(7π/2)) = 0,5

cos(7π) + sin(7π) = 0,5

1 + 0 = 0,5

1 = 0,5

Уравнение не выполняется при x = 7π/2.

Подставим x = -2π:

cos(2*(-2π)) + sin(2*(-2π)) = 0,5

cos(-4π) + sin(-4π) = 0,5

1 + 0 = 0,5

1 = 0,5

Уравнение не выполняется при x = -2π.

Таким образом, на отрезке [7π/2, -2π] уравнение не имеет корней.

2) Решение неравенства 4x - 7*2x + 10 < 0:

Сначала упростим неравенство:

4x - 14x + 10 < 0

-10x + 10 < 0

-10(x - 1) < 0

Теперь рассмотрим два случая:

1) x - 1 > 0 (т.е. x > 1):

-10 < 0

Это неравенство выполняется при любых значениях x > 1.

2) x - 1 < 0 (т.е. x < 1):

-10 > 0

Это неравенство не выполняется ни при каких значениях x < 1.

Таким образом, решением неравенства 4x - 7*2x + 10 < 0 является множество всех значений x > 1.