Question

Не могу решить предел.помогите пожалуйста lim(x=0)((4-x)/(1-x))^(2+x)/(x)

Answer 1

Задание с подвохом:
найдем левосторонний предел для x→0⁻ 

$\lim_{x \to 0^-} \frac{ 4-x } {1-x} ^ \frac{(2+x)}{x}=\frac{ 4-0} {1-0} ^ \frac{(2+0)}{0}=4^ \frac{2}{-0} =4^{-\infty}= \frac{1}{4^\infty} = \frac{1}{\infty} =0$

Теперь найдем правосторонний предел для x→0⁺

$\lim_{x \to 0^+} \frac{ 4-x } {1-x} ^ \frac{(2+x)}{x}=\frac{ 4-0} {1-0} ^ \frac{(2+0)}{0}=4^ \frac{2}{+0} =4^\infty=\infty$

Левосторонний и правосторонний пределы не совпадают, следовательно предела не существует!

Ответ: предела нет

Answer 2

Для решения данного предела, мы можем использовать алгебраические преобразования и свойства пределов. Давайте разберемся с ним поэтапно.

Шаг 1: Преобразование выражения

Начнем с преобразования исходного выражения. Мы можем привести его к более удобному виду, чтобы упростить дальнейшие вычисления. Заметим, что в числителе и знаменателе имеются множители (4 - x). Мы можем сократить их, чтобы получить более простое выражение:

lim(x->0) ((4 - x)/(1 - x))^(2 + x)/(x) = lim(x->0) ((4 - x)/(1 - x))^2 * (4 - x) / (x)

Шаг 2: Раскладываем пределы

Теперь мы можем раскладывать пределы по отдельности. Мы можем разделить пределы на несколько более простых пределов, которые можно вычислить:

lim(x->0) ((4 - x)/(1 - x))^2 * (4 - x) / (x) = lim(x->0) ((4 - x)/(1 - x))^2 * lim(x->0) (4 - x) / lim(x->0) (x)

Шаг 3: Вычисляем пределы

Теперь давайте посчитаем каждый предел в отдельности:

lim(x->0) ((4 - x)/(1 - x))^2 = ((4 - 0)/(1 - 0))^2 = 4^2 = 16

lim(x->0) (4 - x) = 4 - 0 = 4

lim(x->0) x = 0

Шаг 4: Объединяем пределы

Теперь, когда мы вычислили каждый предел в отдельности, мы можем объединить их обратно:

lim(x->0) ((4 - x)/(1 - x))^2 * lim(x->0) (4 - x) / lim(x->0) (x) = 16 * 4 / 0

Шаг 5: Анализ результата

Мы получили результат вида 16 * 4 / 0, что является неопределенностью вида "бесконечность на ноль". Такие неопределенности требуют более специального подхода для их решения. В данном случае, мы не можем просто разделить число на ноль.

Поэтому, в данном случае, предел не существует.

Итак, предел lim(x->0) ((4 - x)/(1 - x))^(2 + x)/(x) не существует.