Question

Написать уравнение и построить параболу,если ее вершина находится в точке (-2,-3) и она проходит через начало координат.

Answer 1

Уравнение параболы имеет вид: $y=ax^2+bx+c.$
Формулы для координат вершины параболы выглядят так:
$x_0= \frac{-b}{2a}; y_0= \frac{4ac-b^2}{4a};\\ (x_0;y_0)=(-2;-3) =>\\-2= \frac{-b}{2a};\\b=4a;\\-3= \frac{4ac-b^2}{4a};\\-3= \frac{4ac-(4a)^2}{4a}=\frac{4ac-16a^2}{4a}=\frac{4a(c-4a)}{4a}=c-4a;\\c-4a=-3;$
Знаем,что парабола проходит через точку (0;0),  значит, $0=a*0^2+b*0+c => c=0;$
$c-4a=-3;\\c=0 => -4a=-3;\\4a=3;\\a= \frac{3}{4};\\ \left \{ {{b=4a;} \atop {4a=3;}} \right. => b=3.$
$y= \frac{3}{4}x^2+3x+0;\\ y=\frac{3}{4}x^2+3x.$

Решим квадратное уравнение и найдем точки, через которые проходит парабола:
$\frac{3}{4}x^2+3x=0;\\ x(\frac{3}{4}x+3)=0;\\x_1=0; y_1=0;\\ \frac{3}{4}x+3=0;\\\frac{3}{4}x=-3;\\x_2= \frac{-3}{1}* \frac{4}{3}=-4;\\ y_2=\frac{3}{4}*(-4)^2+3*(-4)= 12-12=0;\\ (0;0); (-4;0).$
По найденным значениям и координатам вершины параболы построим график( рис.ниже).

Answer 2

Уравнение параболы и построение

Для того чтобы написать уравнение параболы и построить её график, зная что вершина находится в точке (-2, -3) и она проходит через начало координат, мы можем воспользоваться стандартной формой уравнения параболы:

Уравнение параболы:

Общее уравнение параболы в вершинно-осиовой форме имеет вид: \[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \] где (h, k) - координаты вершины параболы, а p - фокусное расстояние.

Зная что вершина находится в точке (-2, -3), мы можем подставить эти значения в уравнение и рассчитать значение p. Также, поскольку парабола проходит через начало координат, то мы можем использовать это условие для рассчета значения p.

Рассчет фокусного расстояния p:

Когда парабола проходит через начало координат, то фокусное расстояние p равно модулю координаты вершины по оси y: \[ p = |k| \]

В данном случае, координата вершины по оси y равна -3, поэтому фокусное расстояние p равно 3.

Уравнение параболы:

Теперь, используя полученное значение фокусного расстояния p и координаты вершины, мы можем записать уравнение параболы: \[ (x + 2)^2 = 4*3*(y + 3) \]

Построение графика:

Теперь мы можем построить график данной параболы, используя полученное уравнение.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Уравнение параболы
def parabola_equation(x):
    return (4*3*(x + 3))0.5 - 2, -(4*3*(x + 3))0.5 - 2

x = np.linspace(-5, 1, 400)
y1, y2 = parabola_equation(x)

plt.figure()
plt.plot(x, y1, 'b', label='Parabola')
plt.plot(x, y2, 'b')
plt.scatter(-2, -3, color='r', label='Vertex (-2, -3)')
plt.scatter(0, 0, color='g', label='Origin (0, 0)')
plt.title('Graph of the Parabola')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.legend()
plt.show()

Выше представлен график параболы, где красная точка обозначает вершину (-2, -3), а зеленая точка - начало координат.