Question

Доказать тождества:1) 1 - tg^2 x = (cos2x) / (cos^2 x)2) ctg^2 x - 1 = (cos2x) / (sin^2 x)

Answer 1

1) 3 sin x + 2 cos x + 2;

2) 5 cos x – sin x + 5.

вырази

Answer 2

Доказательство первого тождества:

Начнем с левой части тождества: 1 - tg^2(x)

Используя определение тангенса, можем записать: 1 - (sin^2(x) / cos^2(x))

Заметим, что верхняя часть дроби является тригонометрическим тождеством: 1 - (1 - cos^2(x)) / cos^2(x)

Раскроем скобки: 1 - 1/cos^2(x) + cos^2(x)/cos^2(x)

Упростим: cos^2(x) - 1/cos^2(x) + 1

Теперь рассмотрим правую часть тождества: (cos2x) / (cos^2(x))

Используя формулу двойного угла, можем записать: (2cos^2(x) - 1) / cos^2(x)

Упростим: 2 - 1/cos^2(x)

Теперь сравним левую и правую части тождества: cos^2(x) - 1/cos^2(x) + 1 = 2 - 1/cos^2(x)

Получаем, что левая и правая части тождества равны друг другу. Таким образом, первое тождество доказано.

Доказательство второго тождества:

Начнем с левой части тождества: ctg^2(x) - 1

Используя определение котангенса, можем записать: (1 / tan^2(x)) - 1

Раскроем дробь: (1 - tan^2(x)) / tan^2(x)

Заметим, что верхняя часть дроби является тригонометрическим тождеством: (1 - sin^2(x) / cos^2(x)) / (sin^2(x) / cos^2(x))

Упростим: (1 - sin^2(x)) / sin^2(x) * cos^2(x) / 1

Теперь рассмотрим правую часть тождества: (cos2x) / (sin^2(x))

Используя формулу двойного угла, можем записать: (2cos^2(x) - 1) / (sin^2(x))

Упростим: 2cos^2(x) / sin^2(x) - 1 / sin^2(x)

Теперь сравним левую и правую части тождества: (1 - sin^2(x)) / sin^2(x) * cos^2(x) / 1 = 2cos^2(x) / sin^2(x) - 1 / sin^2(x)

Получаем, что левая и правая части тождества равны друг другу. Таким образом, второе тождество доказано.