Question

Есть набор гирек с массами от 1 до 100 грамм. Докажите, что среди любых 16 гирек из этого набора можно выбрать две пары гирек, сумма в которых одна и та же.

Answer 1

Пусть нельзя выбрать 2 пары из 16, чтобы их суммы были равны.
Пусть Ax - масса какой-то иксной гирьки,тогда для любых k,l,m,n (от 1 до 16, но при этом все вместе не равны друг другу): Ak+Al<>Am+An, а это значит, что и Ak-Am<>An-Al, то есть любые разности двух гирек из 16 не могут быть меж собой равны. Причем так как гирек от 1 до 100, то эта разность не может превышать 99.
Подсчитаем сколько всего разностей вида Ak-Al может быть:
мы выбираем 2 гирьки из 16, то есть всего 16!/(2!(16-2)!)=120 вариантов. Теперь если разность минимальна, то есть 1, 2 , 3, то минимум мы получим разность равную 120, но разность не может превышать 99, значит мы пришли к противоречию, а значит  можно выбрать две пары гирек, сумма в которых одна и таже

Answer 2

Доказательство: среди любых 16 гирек из данного набора можно выбрать две пары гирек, сумма в которых одна и та же.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле, который гласит, что если n+1 объектов размещаются в n ящиках, то хотя бы в одном из ящиков будет находиться не менее двух объектов.

В данном случае у нас есть 16 гирек и 15 возможных сумм, которые можно получить, выбирая две гирки из набора. Если мы разместим эти 16 гирек в 15 "ящиках" (суммах), то по принципу Дирихле хотя бы в одном из "ящиков" будет находиться не менее двух гирек с одинаковой суммой.

Таким образом, мы можем выбрать две пары гирек из данного набора, сумма в которых будет одна и та же.

Примечание: Данное доказательство основано на принципе Дирихле и не требует использования конкретных значений масс гирек из набора.