Question

Даны сто различных действительных чисел. Известно, что наименьшее из них равно 0,08, а наибольшее 40, причём среди всех возможных попарных сумм этих чисел ровно 197 различных. Найдите сумму этих чисел.

Answer 1

Пронумеруем числа в порядке возрастания:
0,08 = x1 < x2 < x3 < ... < x100 = 40.

Введем удобное обозначение x(100 + i) = x(i + 1) + (x100 - x1)

Заметим, что эти 197 сумм не могут быть равны:
x1 + x2 < x1 + x3 < x1 + x4 < ... < x1 + x99 < x1 + x100 < x2 + x100 < x3 + x100 < ... < x99 + x100 (суммы начиная с x2 + x100 можно записать в виде x1 + x101, x1 + x102, ..., x1 + x198)

Так как всего должно получиться 197 неравных сумм, то других значений сумм нет, все остальные суммы выражаются через написанные выше.

Рассмотрим 97 сумм:
(x1 + x3 <) x2 + x3 < x2 + x4 < x2 + x5 < ... < x2 + x99 (< x2 + x100)

Так как каждая сумма равна какой-то из уже выписанных выше сумм, а также из того, между x1 + x3 и x2 + x100 есть только 97 сумм, получаем серию равенств:
x2 + x3 = x1 + x4
x2 + x4 = x1 + x5
...
x2 + x99 = x1 + x100

Продолжаем разбираться с суммами вида ai + aj, 3 <= i < j <= 99 при фиксированном i. Пусть с предыдущего шага известно, что a(i - 1) + a(i + 1) = 1 + a(2i - 1). Рассмотрим все суммы указанного вида. Они все не равны, расположены между x1 + x(2i - 1) и xi + x100 = x1 + x(99 + i). Между этими значеними есть как раз (99 - i) разрешённых значений для сумм, так что можно записать, что 
xi + x(i + 1) = x1 + x(2i)
xi + x(i + 2) = x1 + x(2i + 1) (<- это, кстати, показывает, что равенство a(i - 1) + a(i + 1) = 1 + a(2i - 1) будет верно и для следующего i)
...
xi + x99 = x1 + x(98 + i)

Проделав это, получаем, что
x1 + x(t - 1) = xi + x(t - i)

Осталось заметить, что
x1 + x100 = x2 + x99 = x3 + x98 = ... = x50 + x51
(x1 + x100) + (x2 + x99) + ... + (x50 + x51) = 50 * (x1 + x100)

В левой части стоит сумма всех чисел, а в правой - число 50 * (0.08 + 40) = 2004.

Ответ. 2004.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

Условия задачи: - Даны 100 различных действительных чисел. - Наименьшее из них равно 0.08, а наибольшее 40. - Среди всех возможных попарных сумм этих чисел ровно 197 различных.

Решение: 1. Поскольку наименьшее число равно 0.08, а наибольшее 40, мы можем сделать вывод, что разница между этими числами должна быть достаточно большой, чтобы получить 197 различных попарных сумм.

2. Давайте попробуем подойти к решению следующим образом: разобьем числа на две группы — числа, которые меньше 20, и числа, которые больше или равны 20.

3. Теперь давайте рассмотрим суммы из обеих групп: - Суммы из первой группы (меньше 20) будут находиться в диапазоне от 0.08 до 39.92 (поскольку максимальная сумма будет равна сумме 19.92 и 20). - Суммы из второй группы (больше или равные 20) будут находиться в диапазоне от 20.08 до 79.92 (поскольку минимальная сумма будет равна сумме 20.08 и 20).

4. Теперь нам нужно выяснить, сколько у нас чисел в каждой группе. Для этого мы можем воспользоваться информацией о количестве уникальных сумм. Поскольку у нас есть 197 различных попарных сумм, это может помочь нам найти количество чисел в каждой группе.

5. Предположим, что у нас есть n чисел в первой группе и m чисел во второй группе. Тогда общее количество сумм будет равно n * m.

6. Мы знаем, что n * m = 197. Таким образом, нам нужно найти такие n и m, чтобы их произведение равнялось 197.

7. После того, как мы найдем n и m, мы сможем вычислить сумму этих чисел.

Давайте начнем с расчетов.