Question

Написать уравнение касательной плоскости к поверхности, проходящей через точку М и параллельной данной прямой: 90*^2+160*y^2+576*z^2=2880, M(12;-3;-1), x=0,y=0.

Answer 1

Поверхность
90x^2 + 160y^2 + 576z^2 = 2880
x^2 / (2880/90) + y^2 / (2880/160) + z^2 / (2880/576) = 1
x^2 / 32 + y^2 / 18 + z^2 / 5 = 1
Это трехосный эллипсоид. Частные производные:
dF/dx = 2x/32 = x/16; dF/dx(M) = 12/16 = 3/4
dF/dy = 2y/18 = y/9; dF/dy(M) = -3/9 = -1/3
dF/dz = 2z/5; dF/dz(M) = -2/5
Уравнение касательной плоскости
dF/dx(M)*(x-x0) + dF/dy(M)*(y-y0) + dF/dz(M)*(z-z0) = 0
3/4(x - 12) - 1/3(y + 3) - 2/5(z + 1) = 0
3x/4 - 9 - y/3 - 1 - 2z/5 - 0,4 = 0
3x/4 - y/3 - 2z/5 - 10,4 = 0
45x - 20y - 24z - 624 = 0
Прямая x=0; y=0 - это ось Oz. Плоскость, параллельная этой оси
-24z - 624 = 0
z + 26 = 0

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной плоскости к поверхности, проходящей через точку M и параллельной данной прямой, нам понадобится найти нормальный вектор к поверхности в точке M. Затем мы можем использовать этот вектор, чтобы определить уравнение плоскости.

Нахождение нормального вектора к поверхности

Для начала, введем уравнение поверхности, данное в задаче: 90x^2 + 160y^2 + 576z^2 = 2880.

Чтобы найти нормальный вектор, мы должны взять градиент (вектор частных производных) этого уравнения в точке M.

Первым шагом найдем частные производные x, y и z по каждой переменной:

∂(90x^2 + 160y^2 + 576z^2)/∂x = 180x ∂(90x^2 + 160y^2 + 576z^2)/∂y = 320y ∂(90x^2 + 160y^2 + 576z^2)/∂z = 1152z

Теперь подставим координаты точки M в эти частные производные:

∂(90x^2 + 160y^2 + 576z^2)/∂x = 180(12) = 2160 ∂(90x^2 + 160y^2 + 576z^2)/∂y = 320(-3) = -960 ∂(90x^2 + 160y^2 + 576z^2)/∂z = 1152(-1) = -1152

Таким образом, нормальный вектор к поверхности в точке M имеет координаты (2160, -960, -1152).

Уравнение плоскости

Теперь, используя найденный нормальный вектор и координаты точки M, мы можем записать уравнение плоскости в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0

Где A, B и C - координаты нормального вектора, а D - константа.

Подставим значения:

2160x - 960y - 1152z + D = 0

Так как плоскость проходит через точку M(12, -3, -1), мы можем подставить эти значения в уравнение:

2160(12) - 960(-3) - 1152(-1) + D = 0 25920 + 2880 + 1152 + D = 0 29952 + D = 0 D = -29952

Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности, проходящей через точку M(12, -3, -1), и параллельной данной прямой, будет иметь вид:

2160x - 960y - 1152z - 29952 = 0

Это и есть искомое уравнение касательной плоскости.