Question

Найти произведение и частное комплексных чисел: z1=5+√5i z2=3-√5i

Answer 1

$z_1z_2=(5+\sqrt5i)(3-\sqrt5i)=15-5\sqrt5i+3\sqrt5i-5i^2=\\\\=15-2\sqrt5i+5=20-2\sqrt5i\\\\\\ \frac{z_1}{z_2} = \frac{5+\sqrt5i}{3-\sqrt5i} =\frac{(5+\sqrt5i)(3+\sqrt5i)}{(3-\sqrt5i)(3+\sqrt5i)} = \frac{15+5\sqrt5i+3\sqrt5i+5i^2}{9-5i^2} =\\\\= \frac{10+8\sqrt5i}{9+5} = \frac{2(5+4\sqrt5i)}{14} = \frac{5+4\sqrt5i}{7} =\frac{5}{7}+ \frac{4\sqrt5}{7}i$

Answer 2

Произведение комплексных чисел:
z1 * z2 = (5 + √5 i)*(3 - √5 i)
Просто раскрываются скобки!
(5 + √5 i)*(3 - √5 i) = 5*3 - 5*√5 i + 3*√5 i - (√5 i)^2 = 15 - 2*√5 i - (√5)^2 (i)^2 =
= 15 - 2*√5 i - 5 *(-1) = 20 - 2*√5 i
Не забываем, что i^2 = -1.

Частное комплексны чисел.
z1/z2 = (5 + √5 i)/(3 - √5 i)
Осуществляется методом умножения числителя и знаменателя на сопряжённое знаменателю выражение.
Знаменатель у нас (3 - √5i), сопряжённое ему равно (3+√5 i). Обратите внимание, что меняется только знак!
z1/z2 = (5 + √5 i)*(3 + √5 i)/[(3 - √5 i)*(3 + √5 i)] =
= (15 +5√5 i + 3√5 i + (√5 i)^2)/(3^2 - (√5 i)^2) =
= (15 + 8√5 i - 5)/(9 + 5) = (10 + 8√5 i)/14 = 5/7 + (4/7)√5 i

Answer 3

Для нахождения произведения и частного комплексных чисел z1 и z2, мы можем использовать формулы для произведения и деления комплексных чисел.

Первым шагом является вычисление произведения:

Произведение комплексных чисел: Для двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i, произведение z1 и z2 вычисляется следующим образом:

z1 * z2 = (a1 + b1i) * (a2 + b2i)

Для нашего случая, z1 = 5 + √5i и z2 = 3 - √5i. Подставляя значения, мы получаем:

z1 * z2 = (5 + √5i) * (3 - √5i)

Выполняя умножение, получаем:

z1 * z2 = 15 - 5√5i + 3√5i - 5i^2

Теперь мы можем упростить это выражение, зная, что i^2 = -1:

z1 * z2 = 15 - 2√5i - 5(-1)

z1 * z2 = 15 + 2√5i + 5

Упрощая дальше, получаем:

z1 * z2 = 20 + 2√5i

Таким образом, произведение комплексных чисел z1 и z2 равно 20 + 2√5i.

Частное комплексных чисел: Для двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i, частное z1 и z2 вычисляется следующим образом:

z1 / z2 = (a1 + b1i) / (a2 + b2i)

Для нашего случая, z1 = 5 + √5i и z2 = 3 - √5i. Подставляя значения, мы получаем:

z1 / z2 = (5 + √5i) / (3 - √5i)

Чтобы вычислить это выражение, мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжение знаменателя (т.е. комплексное число с измененным знаком мнимой части):

z1 / z2 = (5 + √5i) / (3 - √5i) * (3 + √5i) / (3 + √5i)

Выполняя умножение, получаем:

z1 / z2 = (15 + 5√5i + 3√5i + √25i^2) / (9 - 5i^2)

Упрощая, зная, что i^2 = -1:

z1 / z2 = (15 + 8√5i - 25) / (9 + 5)

z1 / z2 = (-10 + 8√5i) / 14

z1 / z2 = -5/7 + (4/7)√5i

Таким образом, частное комплексных чисел z1 и z2 равно -5/7 + (4/7)√5i.

Вот и ответы: Произведение комплексных чисел z1 и z2: 20 + 2√5i Частное комплексных чисел z1 и z2: -5/7 + (4/7)√5i