Question

Интеграл \int\limits^2_0 {2+3 x^{2} } \, dx равен … 1) 0 2) 24 3) 12 4) 11

Answer 1

$\int\limits^2_0 {(2+3x^2)} \, dx =(2x+3x^3/3)|_0^2=(2x+x^3)|_0^2=2*2+2^3=4+8=12$

Ответ: 3) 12

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать методы интегрирования, такие как метод замены переменной или метод интегрирования по частям. Давайте решим данный интеграл пошагово.

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям позволяет нам интегрировать произведение двух функций. Формула для метода интегрирования по частям имеет вид:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

где $u$ и $v$ - это функции, которые мы выбираем для интегрирования.

Решение

Для данного интеграла, мы можем выбрать $u = x^2 + 3$ и $dv = dx$. Тогда, $du = 2x \, dx$ и $v = x$.

Применяя формулу метода интегрирования по частям, мы получаем:

$$\int (x^2 + 3) \, dx = x(x^2 + 3) - \int x \cdot 2x \, dx$$

Упрощая это выражение, получаем:

$$\int (x^2 + 3) \, dx = x^3 + 3x - 2 \int x^2 \, dx$$

Далее, мы можем продолжить интегрирование, используя метод интегрирования по частям ещё раз. Выберем $u = x^2$ и $dv = dx$. Тогда, $du = 2x \, dx$ и $v = x$.

Применяя формулу метода интегрирования по частям снова, мы получаем:

$$\int x^2 \, dx = x \cdot x^2 - \int x \cdot 2x \, dx$$

Упрощая это выражение, получаем:

$$\int x^2 \, dx = x^3 - 2 \int x^2 \, dx$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $\int x^2 \, dx$:

$$3 \int x^2 \, dx = x^3$$

Разделив обе части на 3, получаем:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$

Теперь мы можем заменить это выражение в исходное уравнение:

$$\int (x^2 + 3) \, dx = x^3 + 3x - 2 \cdot \frac{x^3}{3}$$

Упрощая это выражение, получаем:

$$\int (x^2 + 3) \, dx = x^3 + 3x - \frac{2}{3}x^3$$

$$\int (x^2 + 3) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + 3x$$

Ответ

Интеграл $\int\limits^2_0 (2 + 3 + x^2) \, dx$ равен $\frac{1}{3} \cdot 2^3 + 3 \cdot 2 - \left(\frac{1}{3} \cdot 0^3 + 3 \cdot 0\right) = \frac{8}{3} + 6 - 0 = \frac{26}{3}$.

Таким образом, ответ на данный интеграл равен $\frac{26}{3}$.