Question

найти область сходимости степенного ряда: x^n/3^n(n+1)

Answer 1

пример: 

адиус сходимости по признаку Даламбера
n→∞
1/r=lim[a(n+1)/a(n)]=lim[(2^n•2•(n³+1)/((n+1)³+1)•2^n)=
=lim[2•(n³+1)/((n+1)³+1))=2 => r=½

На концах интервала:
x=-½: u(n)=(-1)^n•(½)^n•2^n/(n³+1) знакочередующийся ряд,
сходится по признаку Лейбница;
x=½: u(n)= (½)^n•2^n/(n³+1)=1/(n³+1) сходится по признаку
сравнения рядов с положительными членами
(сравнение со сходящимся 1/n²);

Область сходимости -½≤х≤½.

 

Answer 2

Для того чтобы найти область сходимости степенного ряда, в данном случае x^n/3^n(n+1), мы можем использовать тест Даламбера или радикальный тест Коши.

Тест Даламбера

Рассмотрим ряд x^n/3^n(n+1). В этом случае, мы можем применить тест Даламбера, чтобы определить его область сходимости. Тест Даламбера гласит, что если предел

lim |(a_n+1 / a_n)| n->∞

существует и меньше 1, то ряд сходится. Если предел больше 1 или бесконечность, то ряд расходится. Если предел равен 1, то тест не дает определенного результата и требуется использовать другие методы.

В нашем случае, a_n = x^n/3^n(n+1). Вычислим предел отношения a_n+1 / a_n:

lim |(x^(n+1) / 3^(n+1)(n+2)) / (x^n/3^n(n+1))| n->∞

lim |(x^(n+1) / 3^(n+1)(n+2)) * (3^n(n+1) / x^n)| n->∞

lim |x / 3(n+2)| n->∞

Чтобы этот предел существовал и был меньше 1, нам нужно, чтобы |x / 3(n+2)| < 1. То есть,

|x / 3(n+2)| < 1

Очевидно, что предел существует и равен 0, когда |x / 3(n+2)| < 1. Это будет выполняться, когда |x| < 3(n+2). Поэтому, область сходимости степенного ряда x^n/3^n(n+1) - это множество всех x, таких что |x| < 3(n+2) для всех натуральных чисел n.

Радикальный тест Коши

Мы также можем использовать радикальный тест Коши для определения области сходимости степенного ряда.

Радикальный тест Коши гласит, что если предел

lim (c_n)^(1/n) n->∞

существует и меньше 1, то ряд сходится. Если предел больше 1 или бесконечность, то ряд расходится. Если предел равен 1, то тест не дает определенного результата и требуется использовать другие методы.

В нашем случае, c_n = |a_n|^(1/n) = (|x^n/3^n(n+1)|)^(1/n) = (|x/3(n+1)|)^(1/n). Вычислим предел:

lim (|x/3(n+1)|)^(1/n) n->∞

Так как |x/3(n+1)| не зависит от n, мы можем вынести его за предел:

|x/3(n+1)| * lim (1/n)^(1/n) n->∞

lim (1/n)^(1/n) = 1, так как предел 1/n при n->∞ равен 0. Поэтому, мы получаем:

|x/3(n+1)| * 1 n->∞

|x/3(n+1)|

Очевидно, что для сходимости ряда, нужно, чтобы |x/3(n+1)| < 1. То есть,

|x/3(n+1)| < 1

Это будет выполняться, когда |x| < 3(n+1). Поэтому, область сходимости степенного ряда x^n/3^n(n+1) - это множество всех x, таких что |x| < 3(n+1) для всех натуральных чисел n.

Вывод

Область сходимости степенного ряда x^n/3^n(n+1) - это множество всех x, таких что |x| < 3(n+1) или |x| < 3(n+2) для всех натуральных чисел n.