Question

Решить неопределенный интеграл arctg^3x/1+x^2

Answer 1

1/(1+x^2) - производная арктангенса. Это знать надо.
Поэтому ∫dx*arctg^3(x)/(1+x^2)=∫arctg^3(x)*d(arctgx)=arctg^4(x)/4+C

Answer 2

Для решения неопределенного интеграла ∫(arctg^3x)/(1+x^2)dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям и замену переменной. Давайте начнем с метода интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям:

Для интеграла вида ∫u * dv = uv - ∫v * du, мы выберем u и dv таким образом, чтобы после применения формулы интегрирования по частям интеграл стал проще.

В данном случае, давайте выберем u = arctg^3x и dv = dx. Затем мы найдем du и v.

Вычислим каждую из этих величин: du = d(arctg^3x) = 3 * (arctg^2x) * (1/(1+x^2)) * dx v = ∫dx = x

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям: ∫(arctg^3x)/(1+x^2)dx = (arctg^3x) * x - ∫x * 3 * (arctg^2x) * (1/(1+x^2)) * dx

Замена переменной:

Далее, мы можем воспользоваться заменой переменной, чтобы упростить оставшийся интеграл. Для этого давайте введем новую переменную t = arctg(x). Тогда dx = dt/(1+x^2), а x = tg(t).

Заменим в оставшемся интеграле переменные: ∫x * 3 * (arctg^2x) * (1/(1+x^2)) * dx = ∫tg(t) * 3 * (arctg^2(tg(t))) * (1/(1+tg^2(t))) * dt/(1+tg^2(t))

Упростим выражение: ∫tg(t) * 3 * (arctg^2(tg(t))) * (1/(1+tg^2(t))) * dt/(1+tg^2(t)) = 3 * ∫tg(t) * (arctg^2(tg(t))) * dt

Выражение в терминах t:

Теперь мы можем выразить оставшийся интеграл в терминах переменной t и продолжить его решение.

∫tg(t) * (arctg^2(tg(t))) * dt

Обратимся к тригонометрическим тождествам: tg(t) = sin(t)/cos(t) arctg^2(tg(t)) = t^2

Подставим эти соотношения в интеграл: ∫sin(t)/cos(t) * t^2 * dt

Подынтегральная функция:

Данная подынтегральная функция имеет вид sin(t)/cos(t) * t^2. Мы можем проинтегрировать ее методом интегрирования по частям или сделать замену переменной, чтобы упростить интеграл.

Давайте выберем замену переменной z = cos(t). Тогда dz = -sin(t) * dt, и t = arccos(z).

Замена переменной:

Подставим замену переменной в интеграл и продолжим его решение: ∫sin(t)/cos(t) * t^2 * dt = ∫-t^2 * dz

Возврат к исходной переменной:

Теперь мы можем выразить интеграл в исходной переменной t: ∫-t^2 * dz = -∫t^2 * dz

Обратимся к выражению для z из нашей замены переменной: z = cos(t)

Выражение в терминах z:

Теперь мы можем выразить интеграл в терминах переменной z: -∫t^2 * dz = -∫(arccos(z))^2 * dz

Итоговый интеграл:

Итак, мы получили неопределенный интеграл: -∫(arccos(z))^2 * dz

Это неопределенный интеграл, который теперь можно проинтегрировать с использованием методов интегрирования по частям или других подходящих методов.

Однако, обратите внимание, что решение данного интеграла может быть достаточно сложным и включать специальные функции. Если вам не требуется точное аналитическое решение, вы можете воспользоваться численными методами для приближенного вычисления интеграла.