Question

1) Решите системы неравенств: 5t-1>0 3t-6>/(больше или равно) 0; x^2+3x-40>0 1-3x>-9 2) Найти Д(у): у= (кв. корень) x^2-x-56

Answer 1

1. 1)$\left \{ {{5t\ \textgreater \ 1} \atop {3t \geq 6}} \right.$
$\left \{ {{t\ \textgreater \ \frac{1}{5} } \atop {t \geq 2}} \right.$
t ∈ [2; +∞).

2) Сначала отдельно сделаем первое:
[Уравнение вида: ax²+ bx+ c= 0]
D= b²- 4ac= 9- 4* (-40)= 169= 13²;
x₁= $\frac{-b- \sqrt{D} }{2a}$= -8;
x₂= $\frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}$= 5.

Либо по теореме Виета (если уравнение приведенное, то есть a= 1):
x₁* x₂= c;
x₁+ x₂= -b;
В данном случае:
x₁* x₂= -40;
x₁+ x₂= -3.
Это числа -8 и 5, потому что:
-8* 5= -40;
-8+ 5= -3.
Любой способ хороший, дискриминант чаще применяют, но теорема Виета быстрее.
Теперь к сути:
Имеем два корня, то есть:
x₁> -8;
x₂> 5;
x> 5 оправдывает два неравенства.

Теперь к второму:
-3x> -10;
Делим на число с минусом, поэтому знак неравенства меняется:
x< $\frac{10}{3}$.

Объединив два неравенства, имеем систему:
$\left \{ {{x\ \textgreater \ 5} \atop {x\ \textless \ \frac{10}{3}}} \right.$
x ∈ (-∞; $\frac{10}{3}$)∪(5; +∞).

2. [D(y) - это область определения (множество x). То есть значения, которые может иметь x]
[Выражение, что стоит под квадратным корнем всегда большее 0]
x²- x- 56> 0;
[Аналогичное неравенство уже было выше, решается с помощью дискриминанта или по теореме Виета (если уравнение приведенное, то есть a= 1), формулы уже есть выше, не буду второй раз писать]
D= 1- 4* (-56)= 225= 15².
x₁= -7;
x₂= 8.
То есть:
x₁> -7;
x₂>8;

x> 8 оправдывает оба неравенства.
x ∈ (8; +∞).

Answer 2

Решение системы неравенств

1) Решим первое неравенство: 5t - 1 > 0

Добавим 1 к обеим сторонам неравенства: 5t > 1

Теперь разделим обе стороны на 5 (поскольку коэффициент t равен 5): t > 1/5

Таким образом, решение первого неравенства: t > 1/5.

2) Решим второе неравенство: 3t - 6 ≥ 0

Добавим 6 к обеим сторонам неравенства: 3t ≥ 6

Теперь разделим обе стороны на 3: t ≥ 2

Таким образом, решение второго неравенства: t ≥ 2.

Решение квадратного уравнения

Уравнение: x^2 + 3x - 40 > 0

Для решения данного квадратного уравнения можно использовать метод факторизации или квадратное уравнение можно решить, используя дискриминант.

1) Метод факторизации:

Представим уравнение в виде произведения двух линейных множителей: (x + 8)(x - 5) > 0

Теперь мы имеем две скобки, и мы хотим, чтобы их произведение было больше нуля. Это означает, что оба множителя должны быть либо положительными, либо отрицательными.

Рассмотрим два случая:

a) (x + 8) > 0 и (x - 5) > 0

Решая первое неравенство, получим: x > -8

Решая второе неравенство, получим: x > 5

Так как оба неравенства должны выполняться одновременно, решением в этом случае будет x > 5.

b) (x + 8) < 0 и (x - 5) < 0

Решая первое неравенство, получим: x < -8

Решая второе неравенство, получим: x < 5

Так как оба неравенства должны выполняться одновременно, решением в этом случае будет x < -8.

Таким образом, решением квадратного уравнения x^2 + 3x - 40 > 0 является x < -8 или x > 5.

2) Использование дискриминанта:

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c > 0, дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня и решение будет x < x1 или x > x2, где x1 и x2 - корни уравнения. Если D = 0, то уравнение имеет один вещественный корень и решение будет x = x1. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней и решение будет пустым множеством.

Для уравнения x^2 + 3x - 40 > 0, коэффициенты a, b и c равны соответственно 1, 3 и -40.

Вычислим дискриминант: D = 3^2 - 4 * 1 * (-40) = 9 + 160 = 169

Так как D > 0, уравнение имеет два различных вещественных корня.

Чтобы найти значения корней, мы можем использовать формулу квадратного корня:

x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставляя значения a, b и D в формулу, получим:

x1,2 = (-3 ± √169) / (2 * 1)

x1 = (-3 + 13) / 2 = 5 x2 = (-3 - 13) / 2 = -8

Таким образом, решением квадратного уравнения x^2 + 3x - 40 > 0 будет x < -8 или x > 5.

Решение уравнения у = √(x^2 - x - 56)

Уравнение: у = √(x^2 - x - 56)

Чтобы найти дискриминант D для данного уравнения, нужно рассмотреть выражение внутри корня (x^2 - x - 56).

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -1 и c = -56.

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-56) = 1 + 224 = 225

Так как D > 0, уравнение имеет два различных вещественных корня.

Чтобы найти значения корней, мы можем использовать формулу квадратного корня:

x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставляя значения a, b и D в формулу, получим:

x1,2 = (1 ± √225) / (2 * 1)

x1 = (1 + 15) / 2 = 8 x2 = (1 - 15) / 2 = -7

Таким образом, решением уравнения у = √(x^2 - x - 56) будет у = ±√(x^2 - x - 56), где x принадлежит интервалу (-∞, -7] ∪ [8, +∞).