Question

Докажите, что ∀q>1 ∀k∈N ∃c>0 ∀n∈N q^n ­­­≥ cn^k

Answer 1

Достаточно предъявить такое c>0:
$c \leq \frac{q^n}{n^k}$
Так как q>1, то $\frac{1}{n^k} \ \textless \ \frac{q^n}{n^k},$,
при этом $\frac{1}{n^k}\ \textgreater \ 0$ для всех n и для всех k.
Поэтому, для заданных q, k, n достаточно взять с=$\frac{1}{ n^{k} }$

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам потребуется использовать неравенство Бернулли и метод математической индукции.

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли гласит, что для любого действительного числа x > -1 и натурального числа n, верно следующее неравенство:

(1 + x)^n ≥ 1 + nx

Математическая индукция

Математическая индукция - это метод математического доказательства, состоящий из двух шагов: 1. Базовый шаг: Проверка истинности утверждения для начального значения (обычно n = 1). 2. Шаг индукции: Предположение, что утверждение верно для некоторого значения n и доказательство его справедливости для значения n + 1.

Доказательство неравенства

Для начала, давайте рассмотрим базовый шаг для n = 1: Пусть q > 1 и k ∈ N. Тогда нам нужно доказать, что существует такая константа c > 0, что q^1 ≥ c * 1^k. Очевидно, что неравенство выполняется, если мы возьмем любую положительную константу c, так как q^1 ≥ 0 для любого q > 1 и 1^k = 1 для любого k ∈ N.

Теперь перейдем к шагу индукции: Предположим, что неравенство выполняется для некоторого значения n = m, т.е. q^m ≥ c * m^k для некоторой константы c > 0. Нам нужно доказать, что неравенство выполняется для значения n = m + 1, т.е. q^(m+1) ≥ c * (m+1)^k.

Используя неравенство Бернулли, мы можем записать: q^(m+1) = q^m * q ≥ (1 + m * (q - 1)) * q ≥ (1 + m * (q - 1)) * 1 (так как q > 1) = 1 + m * (q - 1)

Теперь, чтобы продолжить доказательство, нам нужно найти такую константу c' > 0, чтобы 1 + m * (q - 1) ≥ c' * (m+1)^k.

Предположим, мы возьмем c' = c * (m+1)^(-k), где c > 0 - константа из нашего предположения индукции. Тогда:

c' * (m+1)^k = c * (m+1)^(-k) * (m+1)^k = c

Таким образом, неравенство q^(m+1) ≥ c' * (m+1)^k становится: q^(m+1) ≥ c' * (m+1)^k ≥ c * (m+1)^(-k) * (m+1)^k = c

Таким образом, мы доказали, что если неравенство выполняется для некоторого значения n = m, то оно также выполняется для значения n = m + 1.

Таким образом, по принципу математической индукции, неравенство q^n ≥ c * n^k верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, мы доказали, что для любого q > 1 и k ∈ N существует такая константа c > 0, что q^n ≥ c * n^k для всех натуральных чисел n.