Question

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график : y=x^2 + 2/x

Answer 1

Найдём производную у = 2х+2,
найдём критические точки, решив уравнение 2х + 2 = 0, х = - 1,
найдём знак производной на промежутках: у( -2) = -4+2 = - 2, то на 
( -∞ ; - 1) производная отрицательна, значит функция на этом промежутке убывает;  
у (3) = 6+2=8, то на (- 1; ∞ ) производная положительна, значит функция возрастает.
Найдём координату точки минимума у( -1) = - 2 + 2 = 0
Графиком будет  парабола с вершиной в точке  ( - 1; 0)

Answer 2

Исследование функции с помощью производной и построение ее графика: y = x^2 + 2/x

Для исследования функции y = x^2 + 2/x с помощью производной, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по переменной x. 2. Решим уравнение производной для определения критических точек и точек экстремума. 3. Определим интервалы возрастания и убывания функции. 4. Определим значения функции в критических точках и на бесконечностях. 5. Построим график функции на основе полученной информации.

1. Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции y = x^2 + 2/x, мы можем использовать правила дифференцирования. Производная функции y по переменной x будет равна:

y' = 2x - 2/x^2

2. Решение уравнения производной

Чтобы найти критические точки и точки экстремума, мы должны решить уравнение производной y' = 0:

2x - 2/x^2 = 0

Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:

2x^3 - 2 = 0

Решим это уравнение:

2x^3 = 2

x^3 = 1

x = 1

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 1.

3. Определение интервалов возрастания и убывания

Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, мы можем использовать знак производной. Заметим, что производная y' = 2x - 2/x^2 является положительной при x > 1 и отрицательной при x < 1.

Таким образом, функция y возрастает на интервале (1, +∞) и убывает на интервале (-∞, 1).

4. Определение значений функции в критических точках и на бесконечностях

Для определения значений функции в критической точке и на бесконечностях, мы можем подставить значения x в исходную функцию y = x^2 + 2/x.

Подставим x = 1:

y = 1^2 + 2/1 = 1 + 2 = 3

Таким образом, значение функции в критической точке x = 1 равно y = 3.

5. Построение графика функции

Теперь, имея всю необходимую информацию, мы можем построить график функции y = x^2 + 2/x.


На графике видно, что функция имеет минимум в точке x = 1, где значение функции равно y = 3. Функция также возрастает на интервале (1, +∞) и убывает на интервале (-∞, 1).

Обратите внимание: График функции представлен только для визуального представления и может не отражать все детали исследования функции.

Исследование функции с помощью производной и построение ее графика позволяют нам лучше понять ее свойства и поведение на различных интервалах.