Question

(|x-2|+3)(|х|-2) меньше или равно 0

Answer 1

|х|<= 2
|x-2|>=-3

|х|>= 2
|x-2|<=-3

(|x-2|+3)(|х|-2)<= 0 

Answer 2

Давайте разберемся с неравенством \( (|x-2|+3)(|x|-2) \leq 0 \).

1. Разберемся с выражением внутри скобок.

a. \( |x-2| \) - это модуль разности \( x \) и \( 2 \). - Если \( x \geq 2 \), то \( |x-2| = x-2 \). - Если \( x < 2 \), то \( |x-2| = -(x-2) = 2-x \).

b. \( |x| \) - это модуль \( x \). - Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \). - Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \).

2. Теперь подставим полученные значения в исходное неравенство:

\[ (|x-2|+3)(|x|-2) \leq 0 \]

a. Если \( x \geq 2 \), то \( (x-2+3)(x-2) \leq 0 \). Раскрываем скобки: \[ (x+1)(x-2) \leq 0 \]

b. Если \( x < 2 \), то \( (2-x+3)(2-x-2) \leq 0 \). Раскрываем скобки:

\[ (5-x)(-x) \leq 0 \]

3. Теперь решим каждое из уравнений:

a. \( (x+1)(x-2) \leq 0 \) Первый множитель равен 0 при \( x = -1 \), а второй при \( x = 2 \). Таким образом, у нас три интервала: - Если \( x < -1 \), оба множителя отрицательны, произведение положительно. - Если \( -1 \leq x < 2 \), первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно. - Если \( x \geq 2 \), оба множителя положительны, произведение положительно.

b. \( (5-x)(-x) \leq 0 \) Первый множитель равен 0 при \( x = 5 \), а второй при \( x = 0 \). Таким образом, у нас три интервала:

- Если \( x < 0 \), оба множителя положительны, произведение положительно. - Если \( 0 \leq x < 5 \), первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно. - Если \( x \geq 5 \), оба множителя отрицательны, произведение положительно.

4. Собираем ответ:

Из пункта 3(a) у нас есть три интервала, где \( (x+1)(x-2) \leq 0 \):

- Если \( x < -1 \) - Если \( -1 \leq x < 2 \) - Если \( x \geq 2 \)

Из пункта 3(b) у нас есть три интервала, где \( (5-x)(-x) \leq 0 \):

- Если \( x < 0 \) - Если \( 0 \leq x < 5 \) - Если \( x \geq 5 \)

Теперь объединим эти интервалы:

- Если \( x < -1 \) - Если \( -1 \leq x < 0 \) - Если \( 0 \leq x < 2 \) - Если \( 2 \leq x < 5 \) - Если \( x \geq 5 \)

Это и есть решение исходного неравенства.