Question

24 БАЛЛА!!!!! Из шести стержней длины 3 склеили треугольную пирамиду. На рёбра пирамиды сели три мухи. Оказалось, что расстояние между каждыми двумя из этих мух (измеряемое кратчайшим путем по рёбрам пирамиды) не меньше R. При каком наибольшем R такое возможно?

Answer 1

Пусть R > 3, тогда никакие две мухи не сидят на одном ребре. Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, из трёх рёбер какие-то два лежат в одной грани (в противном случае граней должно быть не меньше 2 * 3 = 6, а их всего 4. Рассмотрим пути между мухами, которые сидят в этой грани.

Эта грань — треугольник с периметром P = 3 * 3 = 9. Между мухами, сидящими в этой грани, есть два пути (см. рисунок, красный и зелёный), суммарная длина которых равна 9. Значит, кратчайший путь не длиннее 9/2 = 4,5.

Пример, как могут сидеть мухи, чтобы R было равно 4,5, на второй картинке.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим треугольную пирамиду, образованную шестью стержнями. Поскольку у нас треугольная пирамида, давайте представим ее основание как равносторонний треугольник.

Обозначим длину стороны треугольника как "a". Тогда высота этого треугольника (расстояние от вершины до середины стороны) будет равна \( \frac{\sqrt{3}}{2}a \).

Теперь рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды и двумя мухами. Такой треугольник также является равносторонним, поскольку все его стороны представляют собой ребра пирамиды. Обозначим длину стороны этого равностороннего треугольника как "R".

Теперь мы знаем, что расстояние между любыми двумя мухами не должно быть меньше "R". Рассмотрим расстояние между любыми двумя мухами:

1. Расстояние между мухой 1 и мухой 2: \( R \). 2. Расстояние между мухой 2 и мухой 3: \( R \). 3. Расстояние между мухой 3 и мухой 1: \( R \).

Таким образом, сумма этих трех расстояний равна \( 3R \). Так как это расстояние не должно быть менее \( \frac{\sqrt{3}}{2}a \), у нас есть следующее неравенство:

\[ 3R \geq \frac{\sqrt{3}}{2}a \]

Теперь давайте решим это неравенство относительно \( R \):

\[ R \geq \frac{\sqrt{3}}{6}a \]

Таким образом, наибольшее возможное значение \( R \) будет \( \frac{\sqrt{3}}{6}a \).