Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)= 2x в кубе + 3x в квадрате + 2 на отрезке [-2;1]

Answer 1

F(x)=2x³+3x²+2    [-2  ; 1] 
f '  (x) = 6x²+6x
6x(x+1) = 0
x=0
x=-1 
f(0)= 0 
f(-1)= -2+3+2 = 3 
f(-2)= -16+12+2 = -2  min 
f(1) = 2+3+2=7   max

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 2 на отрезке [-2;1], мы можем использовать процесс определения экстремумов функции. Экстремумы функции могут быть точками максимума или минимума, где функция достигает наибольшего или наименьшего значения.

Нахождение экстремумов функции

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по переменной x. Производная функции позволяет нам найти точки, где функция может иметь экстремумы.

Для функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 2, возьмем производную:

f'(x) = 6x^2 + 6x

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю или не определена. Эти точки могут быть кандидатами на экстремумы.

Уравнение f'(x) = 0:

6x^2 + 6x = 0

Факторизуем это уравнение:

6x(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть две критические точки:

x = 0 и x = -1

Шаг 3: Определим тип экстремума для каждой критической точки, используя вторую производную теста.

Возьмем вторую производную функции f(x):

f''(x) = 12x + 6

Подставим критические точки x = 0 и x = -1 во вторую производную:

Для x = 0: f''(0) = 12(0) + 6 = 6

Для x = -1: f''(-1) = 12(-1) + 6 = -6

Определение наибольшего и наименьшего значения

Шаг 4: Определим наибольшее и наименьшее значение функции, используя значения функции на концах отрезка и информацию об экстремумах.

Для отрезка [-2;1], вычислим значения функции f(x):

f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 2 = -8 + 12 + 2 = 6 f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 + 2 = 2 + 3 + 2 = 7

Шаг 5: Сравним значения функции на концах отрезка и значения функции в критических точках.

Мы имеем следующие значения:

f(-2) = 6 f(0) = 2 f(-1) = 3 f(1) = 7

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2;1] равно 2, и оно достигается в точке x = 0. Наибольшее значение функции равно 7 и достигается в точке x = 1.

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) равно 7, а наименьшее значение равно 2 на отрезке [-2;1].