Question

Найти производную у=(х+1) всё в квадрате разделить под дробью на (х-2) и всё плюс 4 корень 4 степени из х3

Answer 1

Y=(x+1)²/(x-2)+4∜x³
y'=((x+1)²/(x-2))'+4·1/∜x·3/4=((x+1)²'(x-2)-(x+1)²(x-2)')(x-2)²/+4·1/∜x·3/4=
(x+1)(x-5)/(x-2)²+3/∜x

Answer 2

Давайте найдем производную функции \( y = \frac{(x+1)^2}{x-2} + 4\sqrt[4]{x^3} \).

Для этого распишем каждый из компонентов и найдем их производные по отдельности.

1. Рассмотрим первое слагаемое: \( \frac{(x+1)^2}{x-2} \).

Применим правило дифференцирования частного и правило дифференцирования произведения.

\( u = (x+1)^2 \) \( v = x - 2 \)

\(\frac{d(u)}{dx} = 2(x+1)\) (производная \(u\) по \(x\)) \(\frac{d(v)}{dx} = 1\) (производная \(v\) по \(x\))

Теперь воспользуемся формулой для дифференцирования частного: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \cdot du/dx - u \cdot dv/dx}{v^2} \]

Подставляем значения: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{(x+1)^2}{x-2}\right) = \frac{(x-2) \cdot 2(x+1) - (x+1)^2 \cdot 1}{(x-2)^2} \] \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{(x+1)^2}{x-2}\right) = \frac{2(x-2)(x+1) - (x+1)^2}{(x-2)^2} \]

2. Теперь рассмотрим второе слагаемое: \( 4\sqrt[4]{x^3} \).

Применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

\( u = x^3 \) \( v = \sqrt[4]{u} = u^{1/4} \)

\(\frac{d(u)}{dx} = 3x^2\) (производная \(u\) по \(x\)) \(\frac{d(v)}{du} = \frac{1}{4}u^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}\) (производная \(v\) по \(u\))

Теперь воспользуемся правилом для производной сложной функции: \[ \frac{d}{dx}\left(4\sqrt[4]{x^3}\right) = \frac{d}{du}\left(4\sqrt[4]{u}\right) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) \] \[ \frac{d}{dx}\left(4\sqrt[4]{x^3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} \cdot 3x^2 = 3x^2\sqrt[4]{x^3} \]

Теперь объединим найденные производные обоих слагаемых: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{(x+1)^2}{x-2} + 4\sqrt[4]{x^3}\right) = \frac{2(x-2)(x+1) - (x+1)^2}{(x-2)^2} + 3x^2\sqrt[4]{x^3} \]

Это будет производная исходной функции \( y \) по переменной \( x \).