Question

Помогите пожалуйста решить F (x)=5x^3-3x^5 на отрезке [0 ; 2]

Answer 1

Все решение на фото.

Answer 2

Конечно, давайте решим задачу.

У вас есть функция \( F(x) = 5x^3 - 3x^5 \), и вам нужно найти значения функции на отрезке \([0, 2]\). Для этого давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем критические точки функции, то есть точки, где производная равна нулю или не существует. 2. Определим, где функция \( F(x) \) может достигать экстремумов. 3. Проверим значения функции на концах отрезка и в найденных критических точках. 4. Найдем абсолютные экстремумы функции на отрезке.

Шаг 1: Находим производную

\[ F(x) = 5x^3 - 3x^5 \]

\[ F'(x) = 15x^2 - 15x^4 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Уравнение для критических точек: \( F'(x) = 0 \)

\[ 15x^2 - 15x^4 = 0 \]

\[ 15x^2(1 - x^2) = 0 \]

Из этого уравнения получаем два решения:

\[ x = 0 \]

\[ x = 1 \]

Шаг 3: Проверяем значения на концах отрезка и в критических точках

- Подставим \( x = 0 \): \( F(0) = 5 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^5 = 0 \) - Подставим \( x = 1 \): \( F(1) = 5 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^5 = 2 \) - Подставим \( x = 2 \): \( F(2) = 5 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^5 = -40 \)

Шаг 4: Находим абсолютные экстремумы

Максимум функции \( F(x) \) на отрезке [0, 2] достигается в точке \( x = 1 \) (по критерию второй производной). Минимума на данном отрезке нет, так как коэффициент при \( x^4 \) в производной положителен.

Таким образом, максимальное значение функции \( F(x) \) на отрезке [0, 2] равно 2 и достигается при \( x = 1 \), минимальное значение равно -40 и достигается при \( x = 2 \).