Question

Помогите решить матан. Вообще не разбираюсь в этом: Найти производные: 1) y=e^xlnx 2)y=arcsin√(e^x) 3)y=1/3lnx^3 4)y=a^arctg1/x Хэлпуйте, ребзя. Ласт надежда на вас!¡!!!¡!

Answer 1

Вот решение, все расписано

Answer 2

1) Для нахождения производной функции y=e^xlnx нужно использовать правило производной произведения функций. Обозначим первую функцию как f(x)=e^x и вторую функцию как g(x)=lnx. Тогда y=f(x)g(x). Используя правило производной произведения, получим:

y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Для функции f(x)=e^x производная равна f'(x)=e^x. Для функции g(x)=lnx нужно использовать правило производной логарифма, которое утверждает, что производная ln(x) равна 1/x. Таким образом, g'(x)=1/x.

Подставляя это обратно в формулу производной произведения, получим:

y' = e^x * lnx + e^x * (1/x) = e^xlnx + e^x/x.

2) Для нахождения производной функции y=arcsin√(e^x) можно использовать правило производной сложной функции. Обозначим внешнюю функцию как f(x)=arcsin(x) и внутреннюю функцию как g(x)=√(e^x). Тогда y=f(g(x)).

Для функции f(x)=arcsin(x) производная равна f'(x)=1/√(1-x^2). Для функции g(x)=√(e^x) нужно использовать правило производной корня, которое утверждает, что производная √(x) равна (1/2)√(1/x). Таким образом, g'(x)=(1/2)√(1/(e^x)).

Подставляя это обратно в формулу производной сложной функции, получим:

y' = f'(g(x)) * g'(x) = (1/√(1-(√(e^x))^2)) * (1/2)√(1/(e^x)) = (1/√(1-e^x)) * (1/2)√(1/(e^x)) = 1/(2√(1-e^x)).

3) Для нахождения производной функции y=(1/3)ln(x^3) можно применить правило производной логарифма. Так как функция имеет вид f(x)=ln(x), то производная равна f'(x)=1/x. Также, используя правило производной константы, производная константы 1/3 равна 0.

Подставляя это в формулу производной произведения, получим:

y' = (1/3)(1/x^3) * 3x^2 = 1/x.

4) Для нахождения производной функции y=a^arctg(1/x) нужно использовать правило производной сложной функции. Обозначим внешнюю функцию как f(x)=a^x и внутреннюю функцию как g(x)=arctg(1/x). Тогда y=f(g(x)).

Для функции f(x)=a^x производная равна f'(x)=a^x * ln(a). Для функции g(x)=arctg(1/x) нужно использовать производную арктангенса, которая равна 1/(1+(1/x)^2). Таким образом, g'(x)=1/(1+(1/x)^2).

Подставляя это обратно в формулу производной сложной функции, получим:

y' = f'(g(x)) * g'(x) = (a^g(x) * ln(a)) * (1/(1+(1/x)^2)) = a^(arctg(1/x)) * ln(a) * (1/(1+(1/x)^2)).