Question

Скорость движения точки v=10t-t^2. найти путь, пройденный точкой за четвертую секунду

Answer 1

Задача на физический смысл производной

$\displaystyle v(t)=S`(t)\\\\S(t)= \int {V(t)dt$

тогда путь при скорости V=10t-t²

$\displaystyle S(t)= \int {10t-t^2} \, dt= 10\frac{t^2}{2}- \frac{t^3}{3}=5t^2- \frac{t^3}{3}\\\\S(4)=5*4^2- \frac{4^3}{3}=80- \frac{64}{3}= \frac{240-64}{3}=59$

Answer 2

Для нахождения пути, пройденного точкой за четвертую секунду, мы должны интегрировать скорость по времени от 0 до 4 секунды. Данная скорость задана функцией v = 10t - t^2.

Нахождение пути (S) по формуле интеграла скорости (v):

Интегрируем данную функцию скорости по времени: ∫(v) dt = ∫(10t - t^2) dt

Вычисляем первообразную каждого слагаемого по отдельности: ∫(10t) dt = 5t^2 + C1 ∫(t^2) dt = (1/3)t^3 + C2

Где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

Интегрирование скорости от 0 до 4 секунды:

Теперь мы можем вычислить путь, пройденный точкой за четвертую секунду, подставив верхний предел интегрирования равный 4 и нижний предел равный 0: S = ∫(v) dt = [5t^2 + C1] + [(1/3)t^3 + C2] | от 0 до 4

Вычисляем значения пути в верхнем и нижнем пределах: S(4) = [5*(4)^2 + C1] + [(1/3)*(4)^3 + C2] S(0) = [5*(0)^2 + C1] + [(1/3)*(0)^3 + C2]

Вычисление пути за четвертую секунду:

Теперь найдем разность S(4) - S(0), чтобы определить путь, пройденный точкой за четвертую секунду: S(4) - S(0) = [5*(4)^2 + C1] + [(1/3)*(4)^3 + C2] - ([5*(0)^2 + C1] + [(1/3)*(0)^3 + C2])

Упрощаем выражение: S(4) - S(0) = [5*16 + C1] + [64/3 + C2] - [0 + C1] - [0 + C2] S(4) - S(0) = 80 + 64/3 - C1 - C2

Итак, путь, пройденный точкой за четвертую секунду, равен 80 + 64/3 - C1 - C2, где C1 и C2 - постоянные интегрирования.