Question

При каком условии интеграл представляет собой рациональную функцию? Нужно как то доказать.

Answer 1

Положим $\frac{nx^2+mx+v}{x^3} + \frac{ux+y}{(x-1)^2} = \frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}$  
Открыв скобки , и приравняв соответствующие коэффициенты 
$n+u=0 \\ m-2n+y=0\\ -2m+n+v=a \\ m-2v=b \\ v=c$        
$m=2c+b \\ n= a+2b+3c \\ u=-a-2b-3c \\ v=c \\ y=2a+3b+4c$     
$\frac{(a+b*2+3c)*x^2+(2c+b)x+c}{x^3} + \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$    По отдельности 
$\frac{a+2b+3c}{x} + \frac{2c+b}{x^2} + \frac{c}{x^3}$ $+ \frac{ (-a-2b-3c)x+2a+3b+4c}{(x-1)^2}$ 
По свойству интеграла 
$\int\limit {(f(x)+f_{1} +...+(x) + f_{n}(x)} )dx =\int\limits{f_{1}(x)} \, dx+\int\limits { f_{2}(x)}dx+...+$ 
Получим  
$\frac{a+b+c}{1-x} - \frac{b+2c}{x} - \frac{c}{2x^2} + ln(1-x)(a+2b+3c) + lnx(a+2b+3c)+C$ 
Откуда следует  , для того чтобы функция была рациональной  
 $1) a+2b+3c=0 \\a+b+c\ \textgreater \ 0 \\ b+2c\ \textless \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\ 2)a+2b+3c=0 \\ a+b+c\ \textless \ 0 \\b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textless \ 0 \\\\ 3) a+2b+3c=0\\a+b+c\ \textless \ 0 \\ b+2c\ \textgreater \ 0\\ c\ \textgreater \ 0$
 
Откуда решения      
$1) \\ a\ \textgreater \ 0 \ \ ; b\ \textgreater \ -\frac{a}{2} \ \ ; c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ \textgreater \ -2a \ \ ; c = \frac{-a-2b}{3}$
$2) \\ a\ \textless \ 0 \ \ ; -\frac{a}{2}\ \textless \ b\ \textless \ -2a \ \ ; \ \ \ c = \frac{-a-2b}{3}$                                        
$3) \\ a\ \textgreater \ 0 ; \ \ b\ \textless \ -2a ; \ \ c=\frac{-a-2b}{3} \\ a \leq 0 \ \ b\ \textless \ -\frac{a}{2} \ \ c=-\frac{-a-2b}{3}$      

Answer 2

Условие, при котором интеграл представляет собой рациональную функцию

Интеграл может представлять собой рациональную функцию в следующем случае:

Если подынтегральная функция является рациональной функцией, то ее интеграл также будет рациональной функцией.

Рациональная функция - это функция, представленная в виде отношения двух многочленов, где числитель и знаменатель являются многочленами с коэффициентами из поля рациональных чисел.

Доказательство этого условия требует знания математического анализа и теории интегралов, и оно выходит за рамки возможностей данного текстового интерфейса. Однако, я могу предоставить вам общую идею доказательства.

Общая идея доказательства

1. Рассмотрим рациональную функцию вида f(x) = P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены с коэффициентами из поля рациональных чисел. 2. Для нахождения интеграла от f(x) мы можем использовать метод частных дробей, который позволяет разложить рациональную функцию на сумму простейших дробей. 3. Разложение рациональной функции на простейшие дроби позволяет представить интеграл от f(x) в виде суммы интегралов от простейших дробей. 4. Интегралы от простейших дробей могут быть вычислены аналитически и представлены в виде рациональных функций. 5. Таким образом, интеграл от рациональной функции f(x) может быть представлен в виде суммы интегралов от простейших дробей, которые являются рациональными функциями.

Пример

Для наглядности рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти интеграл от функции f(x) = (2x + 1)/(x^2 + 3x + 2). Мы можем разложить эту функцию на простейшие дроби следующим образом:

f(x) = (2x + 1)/(x^2 + 3x + 2) = A/(x + 1) + B/(x + 2),

где A и B - коэффициенты, которые мы должны найти. Затем мы можем вычислить интеграл от каждой простейшей дроби и получить рациональную функцию в виде суммы этих интегралов.

Таким образом, интеграл от f(x) будет представлять собой рациональную функцию.

Заключение

Итак, условие, при котором интеграл представляет собой рациональную функцию, заключается в том, что подынтегральная функция должна быть рациональной функцией. Доказательство этого условия требует знания математического анализа и теории интегралов.